太陽系と天体の運動（知識）の問題
次の文章中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。
地球は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を公転している。地球が近日点を通過するのは毎年 1 月上旬、遠日点を通過するのは毎年 7 月上旬である。ケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）によると、地球の公転の速さは、1 月上旬のころのほうが 7 月上旬のころよりも a 。
また、北半球の春分の日の地球の位置と秋分の日の地球の位置は、太陽から見てほぼ正反対の方向にあり、この 2 点を結ぶ直線はほぼ太陽を通る。この直線は軌道の長軸とは一致せず、軌道を「近日点を含む部分」と「遠日点を含む部分」の 2 つに分ける。これらのことから考えると、秋分の日から次の春分の日までの日数は、春分の日から秋分の日までの日数よりも b 。
| a | b | |
|---|---|---|
| ア | 遅い | 長い |
| イ | 遅い | 短い |
| ウ | 速い | 長い |
| エ | 速い | 短い |
- ア a：遅い b：長い
- イ a：遅い b：短い
- ウ a：速い b：長い
- エ a：速い b：短い
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
ケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）が、惑星の公転の速さと、ある区間を通過する時間について何を意味するかを考えよう。
ヒント 2
面積速度が一定なので、ある区間を通過する時間は、太陽と地球を結ぶ線分がその区間で描く面積に比例する。焦点を通る直線で楕円を分けたとき、近日点を含む側と遠日点を含む側のどちらの面積が小さいかを考えよう。
ヒント 3
太陽に近い近日点付近では公転の速さが大きいので、a は決まり、選択肢はウとエに絞られる。あとは、近日点（1 月上旬）を含むのが「秋分→春分」と「春分→秋分」のどちらの区間かを考えればよい。
答えと解説
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エ
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解説を読む
【a について】ケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）は、「太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に描く面積は一定である」というものである。太陽に近い近日点付近では線分が短いので、同じ面積を描くためには惑星は長い距離を進まなければならない。したがって、惑星の公転の速さは近日点付近で最も速く、遠日点付近で最も遅い。地球は 1 月上旬に近日点を通過するので、1 月上旬のころの公転の速さは、遠日点を通過する 7 月上旬のころより速い。よって a は「速い」。
【b について】面積速度が一定なので、軌道上のある区間を通過するのにかかる時間は、太陽と地球を結ぶ線分がその区間で描く面積に比例する。春分の位置と秋分の位置を結ぶ直線はほぼ太陽（焦点）を通り、軌道を 2 つに分ける。楕円の中心は、長軸上で焦点よりも遠日点側にあるので、焦点を通り長軸と一致しない直線で楕円を分けると、近日点を含む部分には中心が含まれず、その面積は楕円全体の半分より小さくなる（中心を通る直線なら面積をちょうど半分に分けるため）。
地球が 1 月上旬（冬至のころ）に近日点を通過することから、秋分→冬至→春分の区間が近日点を含む部分にあたる。この部分の面積は小さいので、通過にかかる日数は短い。よって、秋分から次の春分までの日数は、春分から秋分までの日数より短い。b は「短い」。（実際、北半球では秋分から春分までが約 179 日、春分から秋分までが約 186 日である。）
以上より、正しい組み合わせはエである。
【ほかの選択肢が誤りである理由】
- ア：a が誤り。近日点付近では公転の速さは遅くなるのではなく速くなる。また b も誤りで、近日点を含む区間は面積が小さいので日数は長くならない。
- イ：a が誤り。面積速度一定より、太陽に近い 1 月上旬のころのほうが速い。
- ウ：b が誤り。近日点を含む部分の面積は小さく、面積速度一定より通過にかかる時間は短いので、日数は長くならない。
別解
a：ケプラーの第二法則により、太陽と地球を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である。近日点付近は太陽に近いので、同じ面積を掃くには弧が長くなければならず、公転の速さは速い。1月上旬（近日点）は7月上旬（遠日点）より速い。よって a は「速い」。
b：秋分の日から次の春分の日までは、北半球の秋・冬を含み、近日点（1月上旬）を含む部分の軌道を通る。この部分は太陽に近く地球が速く動くので、通過に要する日数は短くなる。春分から秋分までは遠日点（7月上旬）を含む部分で、地球の動きが遅く日数が長い。実際に秋分→春分は約179日、春分→秋分は約186日である。よって b は「短い」。
選択肢の確認：
ア（遅い・長い）：a が誤り。
イ（遅い・短い）：a が誤り。
ウ（速い・長い）：b が誤り。
エ（速い・短い）：a, b ともに正しい。
答えはエ。