ゲーム理論の問題

石が $n$ 個ある 1 つの山がある（$n$ は 0 以上の整数）。2 人のプレイヤーが交互に、この山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。手番で石を取れなくなったプレイヤーの負けとする。

石が $n$ 個の局面のグランディ数 $g(n)$ を、1 手で移れる局面のグランディ数の集合の mex（その集合に含まれない最小の 0 以上の整数）として定める。1 手も動かせない局面のグランディ数は $0$ とする。

$g(24)$ を求めよ。

石が $1$ つの山に積まれている。2 人のプレイヤーが交互に、この山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする。石が $n$ 個（$n$ は $0$ 以上の整数）の山のグランディ数を $g(n)$ とする。ただし、集合 $S$（$0$ 以上の整数からなる有限集合）に対して $\mathrm{mex}S$ を「$S$ に含まれない最小の $0$ 以上の整数」とし、$g(n)=\mathrm{mex}\{g(m)\mid n\text{ 個の山から }1\text{ 手で }m\text{ 個の山に移れる}\}$（移れる局面がないときは $\mathrm{mex}\varnothing =0$）と定める。$g(23)$ を求めよ。

石の山が $3$ つあり、石の個数はそれぞれ $4$ 個、$8$ 個、$9$ 個である。2 人のプレイヤーが交互に次の操作を行う。

• どれか $1$ つの山を選び、その山から石をちょうど $1$ 個、$2$ 個、$4$ 個のいずれかの個数だけ取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。

操作ができなくなったプレイヤーの負けとする。先手の最初の手のうち、手のあとの局面全体のグランディ数が $0$ になるもの（勝ちにつながる手）は何通りあるか。ただし、選ぶ山または取る個数が異なる手は、異なる手として数える。

石の山が $4$ つあり、石の個数はそれぞれ $4$ 個、$6$ 個、$8$ 個、$9$ 個である。2 人のプレイヤーが交互に、どれか 1 つの山を選び、その山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする。

この局面から先手が打てる手のうち、移った先の局面のグランディ数が $0$ になる手（勝ちにつながる手）は何通りあるか求めよ。ただし、手は「どの山から何個取るか」の組で区別する。

いくつかの石の山がある。2 人のプレイヤーが交互に、どれか 1 つの山を選び、その山から石をちょうど $1$ 個、$3$ 個、$4$ 個のいずれかの個数だけ取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする（正規形）。

石が $5$ 個、$6$ 個、$11$ 個の 3 つの山からなる局面のグランディ数（スプレイグ・グランディ数）を求めよ。