グランディ数と mex

石が $n$ 個ある 1 つの山を使って、2 人のプレイヤーが交互に次の操作を行う。

操作：山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。

操作できなくなったプレイヤーの負けとする。石が $n$ 個の山（$n$ は $0$ 以上の整数）のグランディ数を $g(n)$ とする。$g(n)$ は、1 手で移れる局面のグランディ数の集合の mex（その集合に含まれない最小の $0$ 以上の整数）として定める。ただし、1 手も動かせない局面では集合が空なので、グランディ数は $0$ とする。$g(24)$ を求めよ。

石が $1$ つの山に積まれている。2 人のプレイヤーが交互に、この山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする。石が $n$ 個（$n$ は $0$ 以上の整数）の山のグランディ数を $g(n)$ とする。ただし、集合 $S$（$0$ 以上の整数からなる有限集合）に対して $\mathrm{mex}S$ を「$S$ に含まれない最小の $0$ 以上の整数」とし、$g(n)=\mathrm{mex}\{g(m)\mid n\text{ 個の山から }1\text{ 手で }m\text{ 個の山に移れる}\}$（移れる局面がないときは $\mathrm{mex}\varnothing =0$）と定める。$g(23)$ を求めよ。

石が $n$ 個ある 1 つの山がある（$n$ は 0 以上の整数）。2 人のプレイヤーが交互に、この山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。手番で石を取れなくなったプレイヤーの負けとする。

石が $n$ 個の局面のグランディ数 $g(n)$ を、1 手で移れる局面のグランディ数の集合の mex（その集合に含まれない最小の 0 以上の整数）として定める。1 手も動かせない局面のグランディ数は $0$ とする。

$g(24)$ を求めよ。

いくつかの石の山がある。2 人のプレイヤーが交互に、どれか 1 つの山を選び、その山から石をちょうど $1$ 個、$3$ 個、$4$ 個のいずれかの個数だけ取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする（正規形）。

石が $5$ 個、$6$ 個、$11$ 個の 3 つの山からなる局面のグランディ数（スプレイグ・グランディ数）を求めよ。

いくつかの石の山がある。2 人のプレイヤーが交互に、どれか 1 つの山を選び、その山から石を取り除く。ただし、石が $n$ 個ある山から取り除ける個数 $k$ は $1\le k\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ を満たす整数に限る（つまり、山の石の半分以下しか取れない）。どの山からも石を取れなくなったプレイヤーの負けとする。

石の個数が $9$ 個、$12$ 個、$13$ 個の 3 つの山からなる局面のグランディ数を求めよ。

石の山が 1 つあり、2 人のプレイヤーが交互に、山から石を $1$ 個、$2$ 個、$5$ 個のいずれかの個数だけ取り除く（山にある石より多くは取れない）。石の個数が $n$（$n$ は $0$ 以上の整数）の局面のグランディ数 $g(n)$ を
$$g(n)=\mathrm{mex}\{g(n-k)\mid k\in \{1,2,5\},k\le n\}$$
で定める。ここで、$0$ 以上の整数からなる有限集合 $A$ に対し、$\mathrm{mex}A$ は $A$ に属さない最小の $0$ 以上の整数を表す（特に $\mathrm{mex}\varnothing =0$）。

すべての $0$ 以上の整数 $n$ について、$g(n)$ は $n$ を $3$ で割った余りに等しいことを証明せよ。