電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につないだ枝と、電気容量 $C$ のコンデンサーの枝を並列につなぎ、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電源に接続する（$R,L,C$ は正の定数で、$R^2<\frac{L}{C}$ とする）。$\omega$ を変えていくと、電源から流れ出る電流と電源電圧の位相が一致する角周波数 ${\omega }_0$（${\omega }_0>0$）がただ 1 つある。$\omega ={\omega }_0$ のとき、電源から見た回路全体のインピーダンスの大きさを、$R,L,C$ を用いて表せ。ただし、導線・電源の内部抵抗とコイルの抵抗は無視し、回路は定常状態にあるものとする。

自己インダクタンス $L$ のコイルと抵抗値 $R$ の抵抗を直列につないだ枝と、電気容量 $C$ のコンデンサーだけの枝を並列につなぎ、この並列回路を電圧の実効値 $V_{\mathrm{e}}$ の正弦波交流電源に接続した。電源の角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。ここで $L>0$, $R>0$, $C>0$, $V_{\mathrm{e}}>0$ で、$L>C{R}^2$ が成り立つとする。電源から流れ出る電流の位相が電源電圧の位相と一致するように $\omega$（$\omega >0$）を選んだとき、電源から流れ出る電流の実効値を、$V_{\mathrm{e}}$, $L$, $R$, $C$ を用いて表せ。ただし、回路は定常状態にあり、コイルとコンデンサーは理想的で、導線と電源の内部の抵抗は無視する。

抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L=0.20\mathrm{H}$ のコイル、電気容量 $C=5.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、電圧の振幅が $V_0=2.0\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に接続した。電源の角周波数を、回路を流れる電流の振幅が最大になる値に合わせた。このとき、コンデンサーの両端の電圧の振幅は何 V か。整数で答えよ。ただし、回路は定常状態にあり、コイルとコンデンサーは理想的で、導線と電源の内部の抵抗は無視する。

抵抗値 $R=30\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L=80\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=25\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、角周波数 $\omega =1.0\times 10^{3}rad/s$、電圧の実効値 $V_{\mathrm{e}}=100\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に接続した。回路は十分に時間がたって定常状態にあるとする。コイルとコンデンサーは理想的（抵抗をもたず、エネルギーを消費しない）とし、導線と電源の内部の抵抗は無視する。この回路で消費される電力の時間平均は何 W か。整数で答えよ。

自己インダクタンス $L_1$ の一次コイルと、自己インダクタンス $L_2$ の二次コイルが、相互インダクタンス $M$（$0<M<\sqrt{L_1{L}_2}$）で結合している。一次コイルの両端を、電圧 $v(t)=V_0\cos \omega t$（$V_0>0$, $\omega >0$）の交流電源につなぐ。二次コイルの両端には、抵抗値 $R$（$R>0$）を自由に変えられる可変抵抗をつなぐ。コイルの抵抗、電源の内部抵抗、導線の抵抗は無視でき、回路は定常状態にあるとする。

$R$ をいろいろな値に変えたとき、可変抵抗で消費される平均電力の最大値を、$V_0,\omega ,L_1,L_2,M$ を用いて表せ。