電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）

真空中に長さ $2a$ の細い直線導線 AB があり、A から B の向きに一定の電流 $I$ が流れている。AB の中点を M とし、M から AB に垂直な向きに距離 $a$ だけ離れた点を P とする。導線 AB の電流だけが点 P につくる磁束密度の大きさを、ビオ・サバールの法則
$$d\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times \mathbf{r}}{r^3}$$
（$\mathbf{r}$ は電流要素 $Id\mathbf{l}$ から点 P へ向かうベクトル、${\mu }_0$ は真空の透磁率）を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、導線 AB 以外の部分（電流を流すための導線など）がつくる磁場は考えない。

真空中に、半径 $a$ の十分に長い円柱形の導線がまっすぐ置かれ、その中心軸に平行に一定の電流 $I$ が流れている。電流は導線の断面に一様に分布している。中心軸からの距離が $\frac{a}{3}$ の点 P（導線の内部）における磁束密度の大きさを、アンペールの法則 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{in}}$ を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、${\mu }_0$ は真空の透磁率で、導線の内部の透磁率も ${\mu }_0$ とする。

十分に広い 2 枚の平行な極板 A, B のあいだが、誘電率 $\epsilon =4{\epsilon }_0$ の一様な誘電体ですき間なく満たされている（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。極板 A には面密度 $+\sigma$、極板 B には面密度 $-\sigma$ の真電荷が一様に分布している（$\sigma >0$）。誘電体の表面のうち極板 A に接する面に現れる分極電荷の面密度の大きさを、$\sigma$ を用いて表せ。

内半径 $a$、外半径 $b$ のドーナツ形（円環状）の鉄心があり、透磁率 $\mu$ の一様な磁性体でできている。この鉄心に導線を一様に $N$ 回巻いたトロイダルコイルをつくり、導線に一定の電流 $I$ を流す。鉄心の中心軸からの距離が $r$（$a<r<b$）の鉄心内部の点 P における磁束密度の大きさを、$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\mathrm{free}}$ と $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$ を用いて、$\mu$, $N$, $I$, $r$ で表せ。

真空中に十分に長い直線導線があり、時刻 $t$ における電流が $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）で増えていく。この導線と同じ平面内に、1 辺の長さ $a$ の正方形の 1 巻きのコイルが固定されている。コイルの 2 辺は導線と平行で、導線に近い側の辺は導線から距離 $a$、遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある。導線の電流が距離 $x$ の点につくる磁束密度の大きさは $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$（${\mu }_0$ は真空の透磁率）である。コイルに生じる誘導起電力の大きさを、${\mu }_0$, $k$, $a$ を用いて表せ。ただし、コイル自身を流れる電流がつくる磁場は無視する。

断面が長方形のトロイダルコイルがある。コイルを巻いた枠は、中心軸からの内半径 $a$、外半径 $2a$、高さ $h$ の円環である。この円環の内部のうち、上半分（高さ $\frac{h}{2}$ の部分）は透磁率 $\mu$ の一様な磁性体で満たされ、下半分は真空（透磁率 ${\mu }_0$）である。磁性体と真空の境界面は中心軸に垂直な平面である。円環の全体に導線が $N$ 回、一様に密に巻かれている。導線の太さと、コイルの外への磁場のもれは無視し、磁性体は線形（$B=\mu H$）で一様であるとする。

このコイルの自己インダクタンス $L$ を $\mu$, ${\mu }_0$, $N$, $h$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$ の長い導体円柱と、それと中心軸を共有する内半径 $b$（$b>a>0$）の薄い導体円筒からなる同軸円筒コンデンサーがある。長さは $L$ で、$L$ は $a$, $b$ にくらべて十分に長いので、端の効果は無視し、電場は中心軸からの距離 $r$ だけで決まり中心軸から放射状に向くものとする。円柱と円筒の間は真空で、真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱に電荷 $Q$、円筒に電荷 $-Q$（$Q>0$）を与えたとき、このコンデンサーの静電容量 $C$ を $a$, $b$, $L$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $R$（$R>0$）の薄い導体球殻があり、電荷 $Q$ が球殻の表面に一様に分布している。ほかに電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電場のエネルギー密度は $u=\frac{{ϵ}_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$ で与えられるものとする。

中心 O からの距離 $r$ が $R<r<2R$ を満たす領域（球殻の外側で、半径 $2R$ の球面の内側）の電場がもつエネルギー $W$ を、$Q$, $R$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、接地された無限に広い平面導体がある（導体の電位は $0$ で、無限遠の電位も $0$ とする）。導体の表面から距離 $d$（$d>0$）の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、直線 OP 上で P に関して O と反対側にあり、$\mathrm{OQ}=2d$ となる点を Q とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

導体の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 Q の電位 $V$ を $q$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。O からの距離が $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。直線 OP 上で、O に関して P と反対側にあり $\mathrm{OR}=2a$ となる点を R とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電位の基準は無限遠にとる。

導体球の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 R の電位 $V$ を $q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

半径 $a$（$a>0$）の導体球と、それと中心を共有する内半径 $3a$ の薄い導体球殻からなる球形コンデンサーがある。導体球と導体球殻の間 $a<r<3a$（$r$ は中心からの距離）は、誘電率が
$$\epsilon (r)={\epsilon }_0\frac{r}{a}$$
で表される等方的な線形誘電体で満たされている。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。SI 単位系を用いる。

このコンデンサーの電気容量を ${\epsilon }_0,a$ を用いて表せ。

抵抗値 $R=30\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L=80\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=25\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、角周波数 $\omega =1.0\times 10^{3}rad/s$、電圧の実効値 $V_{\mathrm{e}}=100\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に接続した。回路は十分に時間がたって定常状態にあるとする。コイルとコンデンサーは理想的（抵抗をもたず、エネルギーを消費しない）とし、導線と電源の内部の抵抗は無視する。この回路で消費される電力の時間平均は何 W か。整数で答えよ。

真空中に、極板の面積 $S$、極板間隔 $d$ の平行板コンデンサーがある。下側の極板に接して、極板と同じ形で厚さ $\frac{d}{2}$ の一様な誘電体の板（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を、極板と平行に入れた。残りの厚さ $\frac{d}{2}$ の部分は真空である。このコンデンサーの上側の極板を正、下側の極板を負として、極板間に一定の電圧 $V$（$V>0$）を加えた。誘電体の上側の表面（真空と接する面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $V$, $d$ を用いて表せ。ただし、極板の端の効果は無視し、極板間の電場は極板に垂直で、各領域で一様であるとする。また、誘電体は線形で等方的とする。

真空中に、十分に長い直線導線と、1 巻きの長方形のコイルが同じ平面内に置かれている。コイルの辺のうち 2 本は直線導線と平行で長さ $b$、残りの 2 本は直線導線に垂直で長さ $a$ である。直線導線に近い側の平行な辺は、直線導線から距離 $a$ の位置にある（したがって遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある）。ここで $a>0$, $b>0$ とする。直線導線とコイルの相互インダクタンス $M$ を、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $b$ を用いて表せ。ただし、直線導線の電流の帰路は十分遠くにあって影響は無視でき、導線とコイルの太さも無視する。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、接地された無限に広い平面導体がある。導体の表面から距離 $h$（$h>0$）の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、導体の表面上で O から距離 $h$ の点を A とする。点 A で導体の表面に誘導される電荷の面密度の大きさを、$q$, $h$ を用いて表せ。ただし、導体の表面より上側（点電荷のある側）は真空で、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

真空中に、中心 O、内半径 $a$、外半径 $2a$（$a>0$）の厚い球殻があり、球殻の部分 $a\leqq r\leqq 2a$（$r$ は O からの距離）にだけ、正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。O からの距離が $\frac{3}{2}a$ の点 P での電場の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、球殻の部分の誘電率も ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。

抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L=0.20\mathrm{H}$ のコイル、電気容量 $C=5.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、電圧の振幅が $V_0=2.0\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に接続した。電源の角周波数を、回路を流れる電流の振幅が最大になる値に合わせた。このとき、コンデンサーの両端の電圧の振幅は何 V か。整数で答えよ。ただし、回路は定常状態にあり、コイルとコンデンサーは理想的で、導線と電源の内部の抵抗は無視する。

真空中に、面積 $S$ の 2 枚の極板を間隔 $d$ で平行に置いた平行板コンデンサーがある。極板の間に、厚さ $t$（$0<t<d$）、比誘電率 ${\epsilon }_r$（${\epsilon }_r>1$）の一様で等方的な線形誘電体の板を、極板と平行に、極板と同じ面積で挿入した。誘電体の板と極板の間のすき間は真空である。極板の間に電池をつないで電位差 $V$（$V>0$）を保つ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、極板の端の効果は無視して、電場は極板に垂直で各領域で一様とする。このとき、誘電体の板の表面（極板に平行な面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、${\epsilon }_0,{\epsilon }_r,V,d,t$ を用いて表せ。

真空中に無限に長い直線導線があり、その導線を含む平面内に、$N$ 巻き（$N$ は正の整数）の長方形コイルが置かれている。コイルの 2 辺（長さ $l$）は導線に平行で、導線からの距離はそれぞれ $d$ と $2d$ である（$l>0,d>0$）。導線に流れる電流を、時刻 $t$ の関数として $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）のように増加させる。このとき、コイルに生じる誘導起電力の大きさを、$N,l,k$ と真空の透磁率 ${\mu }_0$ を用いて表せ。ただし、コイルの巻線の太さは無視し、コイル自身に流れる電流がつくる磁場（自己誘導）は考えないものとする。

真空中に、中心軸を共有する 2 本の十分に長い導体の管（厚さの無視できる円筒）からなる同軸ケーブルがある。内側の管の半径は $a$、外側の管の半径は $b$ である。両管のあいだは 2 種類の磁性体で満たされている。$a<r<c$ の部分（$r$ は中心軸からの距離）は比透磁率 ${\kappa }_1$ の磁性体、$c<r<b$ の部分は比透磁率 ${\kappa }_2$ の磁性体である（$0<a<c<b$）。どちらの磁性体も一様・等方的・線形で、${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$ は正の定数とする。

内側の管に電流 $I$（$I>0$）を中心軸の向きに流し、外側の管で同じ大きさの電流を逆向きに戻す。電流はそれぞれの管の周方向に一様に分布する。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、ケーブルの端の影響は無視する。

このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス $L$ を求めよ。ただし $L$ は、中心軸を含む平面上で $a<r<b$、軸方向の長さ $1$ の長方形を貫く磁束を $\Phi$ として、$L=\Phi /I$ で定める。答えは ${\mu }_0$, ${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$, $a$, $b$, $c$ を用いて表せ。

真空中の平面内に、点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$（$a>0$）の円の $\frac{1}{4}$ にあたる円弧 $\mathrm{AB}$（$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ }$）と、その弦 $\mathrm{BA}$ とでできた 1 巻きの閉じた導線がある。この導線に、$\mathrm{A}$ から円弧を通って $\mathrm{B}$ へ、さらに弦を通って $\mathrm{A}$ へもどる向きに、大きさ $I$（$I>0$）の定常電流を流す。導線の太さは無視でき、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ における磁束密度の大きさを、${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて求めよ。

真空中に、$x$ 軸に垂直な無限に広い平板状の領域 $-d\leqq x\leqq d$（$d>0$）があり、この領域の内部にだけ電荷が分布している。電荷密度は $x$ だけの関数で、$$\rho (x)={\rho }_0\frac{x^2}{d^2}(-d\leqq x\leqq d)$$ である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部に電荷はない。外部から加えた電場はなく、電場はこの電荷分布だけがつくるものとする。したがって電場は $x$ 成分 $E(x)$ だけをもち、平面 $x=0$ に関して対称（$E(-x)=-E(x)$）である。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。平面 $x=0$ 上の点の電位を $\varphi (0)$、平面 $x=d$ 上の点の電位を $\varphi (d)$ とするとき、電位差 $\varphi (0)-\varphi (d)$ を ${\rho }_0$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。$\mathrm{O}$ からの距離が $3a$ の点 $\mathrm{P}$ に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。導体球の表面のうち $\mathrm{P}$ に最も近い点を $\mathrm{A}$ とする（$\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $\mathrm{A}$ における導体球の表面電荷密度を、$q$, $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。

真空中に、十分に長い同軸ケーブルがある。内側の導体は半径 $a$ の中実の円柱で、外側の導体は半径 $b$（$b>a>0$）の厚さの無視できる薄い円筒である。2 つの導体は中心軸を共有している。内側の導体には大きさ $I$ の定常電流が中心軸方向に流れ、外側の導体には同じ大きさの電流が逆向きに流れる。内側の導体を流れる電流は断面内に一様に分布し、外側の導体の電流は円筒面上に一様に分布する。導体と導体の間は真空で、導体の透磁率はすべて真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しいものとする。端の効果は無視する。

磁場のエネルギー $W$ と自己インダクタンス $L$ の関係 $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ を用いて、このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス（内側の導体の内部の磁場の寄与を含む）を、${\mu }_0,a,b$ を用いて求めよ。

真空中で、接地された 2 枚の無限に広い平面導体が、直線 $\mathrm{O}$ を共有して互いに直角に交わっている（平面導体の厚さは無視する）。2 枚の平面導体ではさまれた直角の領域の中で、どちらの平面導体からも距離 $a$（$a>0$）の点 $\mathrm{P}$ に、点電荷 $q$（$q>0$）が置かれている。この点電荷を、点 $\mathrm{P}$ から無限遠まで、外力によってゆっくり移動させるのに必要な仕事を、$q,a$ と真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ を用いて表せ。ただし、移動の経路は直角の領域の中にあるものとする。

抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につないだ枝と、電気容量 $C$ のコンデンサーの枝を並列につなぎ、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電源に接続する（$R,L,C$ は正の定数で、$R^2<\frac{L}{C}$ とする）。$\omega$ を変えていくと、電源から流れ出る電流と電源電圧の位相が一致する角周波数 ${\omega }_0$（${\omega }_0>0$）がただ 1 つある。$\omega ={\omega }_0$ のとき、電源から見た回路全体のインピーダンスの大きさを、$R,L,C$ を用いて表せ。ただし、導線・電源の内部抵抗とコイルの抵抗は無視し、回路は定常状態にあるものとする。

抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につないだ枝と、抵抗値 $R$ の抵抗と電気容量 $C$ のコンデンサーを直列につないだ枝を並列につなぎ、この並列回路を正弦波交流電源に接続した（$R$, $L$, $C$ は正の定数）。導線・コイルの抵抗と電源の内部インピーダンスは無視でき、回路は定常状態にあるとする。

電源の電圧の振幅を一定に保ったまま角周波数 $\omega$（$\omega >0$）をどのように変えても、電源から流れ出る電流の振幅は変わらず、電流と電源電圧の位相も常に一致していた。このときの $R$ を、$L$, $C$ を用いて求めよ。

真空中（誘電率 ${ϵ}_0$）に、2 枚の平面 $x=-d$ と $x=d$ ではさまれた、$y$ 方向と $z$ 方向に無限に広い板状の領域がある（$d>0$）。この領域の内部にだけ電荷が分布しており、その体積密度は
$$\rho (x)={\rho }_0\left(1-\frac{x^2}{d^2}\right)(-d\leqq x\leqq d)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部 $|x|>d$ に電荷はない。原点を O、$x$ 軸上の $x=2d$ の点を P とする。

点 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ と点 P の電位 $V_{\mathrm{P}}$ の差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、${\rho }_0,d,{ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中（透磁率 ${\mu }_0$）に、超伝導体でできた 2 つの円形の輪 A, B がある。A は半径 $a$、自己インダクタンス $L_1$ であり、B は半径 $b$、自己インダクタンス $L_2$ である（$a,b,L_1,L_2$ は正の定数で、$b\ll a$）。輪はどちらも変形せず、電気抵抗は $0$ とする。

はじめ、A を固定して A に大きさ $I_0$（$I_0>0$）の電流が流れている。B は、A の中心を通り A の面に垂直な直線（A の中心軸）の上に、A から十分に遠く離れて置かれている。B の面は A の面に平行で、B の中心は中心軸上にあり、B には電流が流れていない。この状態から、B の面を A の面に平行に保ち、B の中心を中心軸に沿ってゆっくりと動かし、B の中心が A の中心と一致する位置（A と B が同心で同一平面内にある位置）まで移動させた。$b\ll a$ なので、B は A の導線にふれることなく A の内側に入る。

移動後の位置では、A の電流がつくる磁場は、B の内部で A の中心での磁場と等しく一様であるとみなしてよい。また、B を十分に遠くに置いたときの A と B の相互インダクタンスは $0$ とみなし、移動はゆっくりなので輪の運動エネルギーと電磁波の放射は無視する。

この移動のあいだに、B に加えた外力がした仕事を、${\mu }_0,a,b,L_1,L_2,I_0$ を用いて求めよ。

自己インダクタンス $L_1$ の一次コイルと、自己インダクタンス $L_2$ の二次コイルが、相互インダクタンス $M$（$0<M<\sqrt{L_1{L}_2}$）で結合している。一次コイルの両端を、電圧 $v(t)=V_0\cos \omega t$（$V_0>0$, $\omega >0$）の交流電源につなぐ。二次コイルの両端には、抵抗値 $R$（$R>0$）を自由に変えられる可変抵抗をつなぐ。コイルの抵抗、電源の内部抵抗、導線の抵抗は無視でき、回路は定常状態にあるとする。

$R$ をいろいろな値に変えたとき、可変抵抗で消費される平均電力の最大値を、$V_0,\omega ,L_1,L_2,M$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球の内部にだけ電荷が分布している。中心 O からの距離を $r$ とすると、電荷密度は
$$\rho (r)={\rho }_0\left(1-\frac{r}{a}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
であり、$r>a$ には電荷はない（${\rho }_0>0$ は定数）。球の内部も外部も誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。この電荷分布がもつ静電エネルギー $W$（電場のエネルギー $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^{2}dV$ を全空間で積分したもの）を、${\rho }_0$, $a$, ${\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球がある。この導体球は孤立しており（接地されておらず）、全電荷は $0$ である。中心 O から距離 $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。点電荷 $q$ が導体球から受ける静電気力の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $q$, $a$ を用いて表せ。ただし、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

自己インダクタンス $L$ のコイルと抵抗値 $R$ の抵抗を直列につないだ枝と、電気容量 $C$ のコンデンサーだけの枝を並列につなぎ、この並列回路を電圧の実効値 $V_{\mathrm{e}}$ の正弦波交流電源に接続した。電源の角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。ここで $L>0$, $R>0$, $C>0$, $V_{\mathrm{e}}>0$ で、$L>C{R}^2$ が成り立つとする。電源から流れ出る電流の位相が電源電圧の位相と一致するように $\omega$（$\omega >0$）を選んだとき、電源から流れ出る電流の実効値を、$V_{\mathrm{e}}$, $L$, $R$, $C$ を用いて表せ。ただし、回路は定常状態にあり、コイルとコンデンサーは理想的で、導線と電源の内部の抵抗は無視する。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱形の導体がある。この導体には、中心軸と平行な、半径 $\frac{a}{3}$ の円柱形の空洞があけられている。導体の中心軸を O、空洞の中心軸を O${}^{\prime }$ とすると、O と O${}^{\prime }$ の距離は $\frac{a}{2}$ である（空洞は導体の内部に完全に含まれる）。導体の部分（空洞を除いた部分）には、中心軸と平行な向きに、一様な電流密度で全電流 $I$（$I>0$）が流れている。空洞の中心軸 O${}^{\prime }$ 上での磁束密度の大きさを、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて表せ。ただし、導体の透磁率は ${\mu }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、大きさ $E_0$（$E_0>0$）の一様な電場がある。この中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の一様な誘電体の球（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を置いた。誘電体は線形・等方的で、真電荷をもたない。十分に時間がたって静電的なつり合いの状態になったとき、球の表面上の点 P のすぐ外側（真空側）での電場の大きさを、$E_0$ を用いて表せ。ただし、点 P は、O から P へ向かう向きと、もとの一様な電場の向きとのなす角が $60^{\circ }$ となる点である。また、球から十分に遠い点では、電場はもとの一様な電場に一致するものとする。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の球がある。この球の内部から、中心 $\mathrm{C}$、半径 $b$ の球形の部分をくりぬいて空洞にした。ただし $\mathrm{OC}=d$ であり、$0<b<d$、$d+b<R$ とする（空洞は球の内部にあり、点 $\mathrm{O}$ は空洞の外にある）。空洞を除いた部分には、一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で電荷が分布しており、空洞の中は真空である。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{C}$ の電位差 $\varphi (\mathrm{O})-\varphi (\mathrm{C})$ を、$\rho ,b,d,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に一様な磁束密度 $B_0$（$B_0>0$）の静磁場がある。この中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱を、中心軸が磁場の向きに垂直になるように置く。円柱は比透磁率 ${\mu }_r$（${\mu }_r>0$ の定数）の一様・等方的な線形磁性体でできていて、伝導電流は流れていない。円柱を置いても、円柱から十分に遠い所の磁場は一様な磁束密度 $B_0$ のままであるとする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ として、円柱の内部の磁束密度の大きさを、$B_0,{\mu }_r$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部の磁場は一様になることを用いてよい。