電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、接地された無限に広い平面導体がある（導体の電位は $0$ で、無限遠の電位も $0$ とする）。導体の表面から距離 $d$（$d>0$）の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、直線 OP 上で P に関して O と反対側にあり、$\mathrm{OQ}=2d$ となる点を Q とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

導体の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 Q の電位 $V$ を $q$, $d$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球がある。この導体球は孤立しており（接地されておらず）、全電荷は $0$ である。中心 O から距離 $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。点電荷 $q$ が導体球から受ける静電気力の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $q$, $a$ を用いて表せ。ただし、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。$\mathrm{O}$ からの距離が $3a$ の点 $\mathrm{P}$ に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。導体球の表面のうち $\mathrm{P}$ に最も近い点を $\mathrm{A}$ とする（$\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $\mathrm{A}$ における導体球の表面電荷密度を、$q$, $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。O からの距離が $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。直線 OP 上で、O に関して P と反対側にあり $\mathrm{OR}=2a$ となる点を R とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電位の基準は無限遠にとる。

導体球の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 R の電位 $V$ を $q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、極板の面積 $S$、極板間隔 $d$ の平行板コンデンサーがある。下側の極板に接して、極板と同じ形で厚さ $\frac{d}{2}$ の一様な誘電体の板（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を、極板と平行に入れた。残りの厚さ $\frac{d}{2}$ の部分は真空である。このコンデンサーの上側の極板を正、下側の極板を負として、極板間に一定の電圧 $V$（$V>0$）を加えた。誘電体の上側の表面（真空と接する面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $V$, $d$ を用いて表せ。ただし、極板の端の効果は無視し、極板間の電場は極板に垂直で、各領域で一様であるとする。また、誘電体は線形で等方的とする。