空間ベクトルの外積

空間の 2 つのベクトル $$\mathbf{a}=(1,2,0),\mathbf{b}=(3,-1,2)$$ について、始点をそろえた $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を、外積 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ を用いて求めよ。

$xyz$ 空間の 2 つのベクトル
$$\mathbf{a}=(1,2,2),\mathbf{b}=(2,1,-2)$$
について、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めよ。

空間の 2 つのベクトル $\mathbf{a}=(1,0,2)$, $\mathbf{b}=(0,1,2)$ について、外積 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ を成分で計算し、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$\gamma (t)=\left(t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3\right)(t\in \mathbb{R})$$
のねじれ率を $\tau (t)$ とする。曲線全体にわたる全ねじれ率
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }}{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime }{|}^2}$ で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の常螺旋面（ヘリコイド）を
$$X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示する。点 $X(\sqrt{3},0)=(\sqrt{3},0,0)$ における主曲率全体の集合を求めよ。ただし単位法線ベクトルは $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ とする。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(t,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$t=1$ に対応する点における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ の組 $(\kappa ,\tau )$ をこの順に求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{(c^{\prime }\times c^{\prime \prime })\cdot c^{\prime \prime \prime }}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$（フレネ・セレの公式で $\frac{d\mathbf{b}}{ds}=-\tau \mathbf{n}$ となる符号）で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(2t,t^2,\log t\right)(t>0)$$
を考える。${\mathbb{R}}^3$ には標準内積と標準的な向きを入れ、ねじれ率 $\tau$ は $\tau =\frac{\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$ と符号を定める。$t=1$ に対応する点 $(2,1,0)$ における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ を、組 $(\kappa ,\tau )$ の形でこの順に求めよ。

$xyz$ 空間の曲面
$$S=\{(x,y,z)\mid z=xy,0\le x\le 1,0\le y\le 2\}$$
と、ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^2,y,3z\right)$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を $z$ 成分が正となる向き（上向き）にとるとき、$S$ を通る $\mathbf{F}$ の流束
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。

$U$ を ${\mathbb{R}}^3$ の開集合とし、$f,g$ を $U$ 上の $C^2$ 級の実数値関数とする。座標を $(x,y,z)$ とし、ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ の発散と回転を
$$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z},\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$$
で定める。このとき、$U$ 上で
$$\nabla \cdot (\nabla f\times \nabla g)=0$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）ことは用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=(\cosh t,\sinh t,t)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の各点での曲率を $\kappa$、弧長要素を $ds=|c^{\prime }(t)|dt$ とする。曲線全体にわたる全曲率
$${\int }_c\kappa ds={\int }_{-\infty }^{\infty }\kappa (t)|c^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。

北緯 $60^{\circ }$ の地点で、地面からの高さ $h=125\mathrm{m}$ の点から小球を静かに放した（地面に固定した座標系に対して初速度 $0$）。地球の自転によるコリオリ力のため、小球は放した点の真下の点からわずかに東へずれた点に落下する。このずれの大きさは何 $\mathrm{mm}$ か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地球の自転の角速度の大きさを $\Omega =7.29\times 10^{-5}rad/s$、重力加速度の大きさ（遠心力の効果を含む）を $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$ で一定とし、空気抵抗は無視する。コリオリ力の効果は $\Omega$ の 1 次までとり、遠心力による鉛直方向のずれは $g$ に含まれているものとする。

SI 単位系で、真空中の原点に置かれた電気双極子モーメントが
$$\mathbf{p}(t)=p_0\left(\cos \omega t,\sin \omega t,0\right)$$
のように、大きさ $p_0$ を保ったまま $xy$ 平面内を角振動数 $\omega$ で回転している（$p_0>0$, $\omega >0$ は定数）。双極子の大きさは放射の波長に比べて十分小さく、十分遠方（放射帯）では、単位方向ベクトル $\mathbf{n}$ の向きへ単位立体角あたりに放射される電力は、電気双極子近似により
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}{\left|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}\right|}^2$$
で与えられる（${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速、$\ddot{\mathbf{p}}$ は遅延時刻での $\mathbf{p}$ の 2 階時間微分）。$+z$ 軸方向（$\mathbf{n}=(0,0,1)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均は、$+x$ 軸方向（$\mathbf{n}=(1,0,0)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均の何倍か。

直交座標 $(x,y,z)$ をとり、ある領域に次の静磁場と静電場がある。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}},\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{x}}$$
ここで $B_0>0$, $L>0$ は定数、$E_0$ は実数の定数で、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{z}}$ は $x$, $z$ 方向の単位ベクトルである。この領域には、アンペールの法則 $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{j}$ を満たすように、この磁場を作る一様な電流が $y$ 方向に流れている。磁力線はまっすぐで、曲率はない。これらの場は与えられたものとし、考える陽子の運動による場の変化は無視する。

この場の中を、電荷 $q(>0)$ の陽子が運動している（$q$ は電気素量に等しい正の定数を表す文字である）。陽子の案内中心はある瞬間に $x=0$ の面上にあり、磁場に垂直な方向の旋回運動の運動エネルギーは $W(>0)$ である。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、$|E_0|/B_0$ は旋回の速さに比べて十分小さいとして、案内中心のドリフト速度は、$x=0$ での場の値を使った $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと磁場の勾配による $\nabla B$ ドリフト（勾配ドリフト）の和で表されるものとする。重力・衝突・放射は無視し、運動は非相対論的とする。

このときの案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$E_0$, $B_0$, $W$, $q$, $L$ を用いて表せ。

$S$ を ${\mathbb{R}}^3$ 内の向きの付いた区分的に滑らかな曲面とし、$\mathbf{n}$ をその単位法線ベクトルとする。$S$ の境界 $C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で、$\mathbf{n}$ に対して正の向き（右ねじの向き）に向きが付いているとする。すなわち、連続な写像 $\mathbf{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ と分点 $a=t_0<t_1<\cdots <t_N=b$ があって、$\mathbf{r}$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ 上で $C^1$ 級、$\mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b)$ であり、$C$ はこの向きで $\mathbf{r}$ によりちょうど 1 周たどられるとする。$W$ を $S$ と $C$ を含む開集合とし、$f_1,g_1,f_2,g_2$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$C$ 上のすべての点で
$$f_1=f_2,g_1=g_2$$
をみたすものとする（$C$ の外では一致しなくてよい）。このとき
$${\iint }_S(\nabla f_1\times \nabla g_1)\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_S(\nabla f_2\times \nabla g_2)\cdot \mathbf{n}dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\sum _{k=1}^N{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
（区間の端点での ${\mathbf{r}}^{\prime }$ は片側微分係数とする）、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）こと、および合成関数の微分法（連鎖律）は用いてよい。回転は直交座標 $(x,y,z)$ で $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ に対し $\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$ で定める。

真空中に円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸に沿って、無限に長い細い直線導線を置く。導線には $z$ 軸の正の向きに定常電流 $I$（$I>0$）が流れている。また、導線は単位長さあたり $\lambda$ の一様な電荷をもつ。電荷の分布は時間変化しないものとする。このとき導線のまわりの磁場と電場は
$$\mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\phi }},\mathbf{E}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\hat{\mathbf{r}}$$
である。ここで ${\mu }_0$ は真空の透磁率、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

この場の中で、陽子（電荷 $e>0$）が導線から距離 $r_0$ の位置を中心にラーモア運動をしている。陽子の案内中心は磁力線（$z$ 軸を中心とする円）に沿って動く。案内中心の位置で測った、磁力線に平行な運動の運動エネルギーを $K_1$、磁場に垂直な旋回運動の運動エネルギーを $K_2$ とする（$K_1>0$, $K_2>0$）。

ラーモア半径は $r_0$ に比べて十分小さいとし、案内中心の運動は 1 次のドリフト近似で扱う。考えるドリフトは $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフト・勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）・曲率ドリフトの 3 つとする。重力・相対論的効果・放射は無視する。

案内中心のドリフト速度の合計が $0$ になり、陽子の案内中心が平面 $z=\text{一定}$ 内の半径 $r_0$ の円の上にとどまるとき、比 $\frac{\lambda }{{\epsilon }_0}$ を $e,K_1,K_2$ を用いて表せ。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、$\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$（$a>b>0$）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M,a,b,\omega$ を用いて表せ。

惑星の磁気赤道面（$z=0$ の平面）内の運動を考える。惑星の中心を原点とする円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{\phi }},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの向きの単位ベクトルとする（$\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{\phi }}=\hat{\mathbf{z}}$）。惑星の半径を $a$ とする。

赤道面 $r>a$ での磁場と電場は
$$\mathbf{B}=B_0{\left(\frac{a}{r}\right)}^3\hat{\mathbf{z}},\mathbf{E}=-\frac{\Omega B_0{a}^3}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$$
で与えられるとする（$B_0>0$、$\Omega >0$ は定数。電場は惑星とともに角速度 $\Omega$ で回転するプラズマがつくる共回転電場である）。

この赤道面内で、電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、ピッチ角 $90^{\circ }$（磁場に平行な速度成分が $0$）で旋回運動している。$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトとともに動く系で見た旋回運動の運動エネルギーを $K$（$K>0$）とする。粒子は非相対論的に運動し、重力は無視する。ラーモア半径は場の変化の長さ $r$ に比べて十分小さく、案内中心近似（ドリフト近似）が使えるものとする。また $0<K<\frac{q\Omega B_0{a}^2}{3}$ とする。

案内中心の $\phi$ 方向のドリフト速度（$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと勾配ドリフトの和）が $0$ になる半径 $r$ を、$q,\Omega ,B_0,a,K$ を用いて表せ。

$xyz$ 空間の関数
$$f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2{)}^2,g(x,y,z)=xy+yz+zx$$
を用いて、ベクトル場 $\mathbf{F}=\nabla f\times \nabla g$ を定める。点 $(1,2,3)$ における $\nabla \times \mathbf{F}$ を成分表示したものを $(p,q,r)$ とするとき、組 $(p,q,r)$ を求めよ。

真空中に円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{\phi }},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの座標が増える向きの単位ベクトルとする（$\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{\phi }}=\hat{\mathbf{z}}$）。$z$ 軸に沿って無限に長い細い直線導線があり、$z$ 軸の正の向きに定常電流 $I$（$I>0$）が流れている。また、導線は長さあたり $\lambda$ の一様な電荷をもつ（$\lambda$ は正にも負にもなりうる定数）。導線の外の電場と磁場は
$$\mathbf{E}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\hat{\mathbf{r}},\mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\phi }}$$
である。ここで ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$ はそれぞれ真空の誘電率と透磁率である。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、導線から距離 $r_0$ のあたりで磁力線のまわりを旋回している。粒子の磁場に平行な速さを $u$、磁場に垂直な速さ（旋回の速さ）を $w$ とし（$u>0$, $w>0$）、ラーモア半径は $r_0$ に比べて十分に小さいとする。重力・相対論的効果・粒子どうしの相互作用・放射は無視する。

案内中心近似（ドリフト近似）の最低次で考えると、案内中心は磁力線に沿った運動のほかに $z$ 方向にドリフトする。このドリフトの速度が $0$ になるような $\lambda$ を、${\epsilon }_0,m,q,u,w$ を用いて求めよ。