プラズマ物理の問題

$xyz$ 直交座標系で、外部のコイルの電流がつくる静磁場が、考えている領域で
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}}$$
と表されるように $x$ 方向にゆるやかに変化している（この磁場を保つのに必要な電流は領域内を流れていてもよい）。さらに、$x$ 方向を向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E_x\hat{\mathbf{x}}$ がかかっている。ここで $B_0=0.10\text{T}$, $L=0.50\text{m}$ であり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{z}}$ はそれぞれ $x$, $z$ 方向の単位ベクトルである。

この場の中で陽子（電荷 $e>0$）が 1 個運動しており、その案内中心は $x=L$ の位置にある。陽子の磁場に垂直な方向の運動エネルギー（ラーマー運動の運動エネルギー）は $W_{\perp }=100\text{eV}$ である。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、案内中心近似が使えるものとする。また、陽子の相対論的効果・重力・衝突・陽子自身がつくる場は無視し、磁場の大きさの勾配による勾配ドリフトと $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトだけを考える。

陽子の案内中心の $y$ 方向のドリフト速度が $0$ になるようにするには、電場の $x$ 成分 $E_x$ を何 V/m にすればよいか。整数で求めよ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。考えている領域（$0\leqq x\leqq L$ を含む領域）には、次の静磁場と静電場がかかっている。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z,\mathbf{E}=E_0{\mathbf{e}}_y$$
ここで $B_0>0$、$L>0$、$E_0>0$ は定数であり、${\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ はそれぞれ $y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルである。この磁場は外部の電流がつくるものとし、その由来は考えなくてよい。

この場の中で、質量 $m$、電荷 $e$（$e>0$）の陽子 1 個の運動を考える。時刻 $0$ に陽子の旋回中心（案内中心）は原点 $(0,0,0)$ にあり、陽子は磁場に垂直な面内で旋回していて、その運動エネルギーは $K_0$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。

ラーモア半径は $L$ より十分小さく、案内中心の速度は E×B ドリフトと勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）の速度の和で表されるとする。また、磁気モーメント $\mu =\frac{K_{\perp }}{B}$（$K_{\perp }$ は磁場に垂直な運動の運動エネルギー）は断熱不変量として保存されるとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が平面 $x=L$ に達したときの、案内中心の $y$ 座標を $K_0$, $e$, $E_0$ を用いて表せ。

SI 単位系を用いる。電気素量を $e$（$e>0$）とする。座標軸 $x,y,z$ は右手系をなすものとし、${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルとする（${\mathbf{e}}_z\times {\mathbf{e}}_x={\mathbf{e}}_y$）。

プラズマ中の $x=0$ の付近に、$z$ 軸の正の向きを向き、大きさが $x$ とともにゆるやかに変化する静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z(B_0>0,L>0)$$
と、$x$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E{\mathbf{e}}_x$（$E>0$）がかかっている。

この中で、陽子（電荷 $+e$）と電子（電荷 $-e$）の運動を案内中心近似で考える。どちらの粒子も案内中心は $x=0$ にあり、磁場に平行な速度成分は 0 で、磁場に垂直な運動（ラーモア運動）の運動エネルギーはどちらも $W$（$W>0$）である。ラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、ドリフトの速さは粒子の速さに比べて十分小さいとする。また、運動は非相対論的に扱い、重力と粒子間の衝突は無視する。

電場の大きさ $E$ は、陽子の案内中心がちょうど静止するように調整されている。このとき、電子の案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$W$, $e$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。

直交座標 $(x,y,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの軸の正の向きの単位ベクトルとする。プラズマ中に、$z$ 方向を向き大きさが $x$ とともに変わる静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}}$$
と、一様な静電場 $\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{x}}$ がかかっている（$B_0>0$, $L>0$ は定数、$E_0$ は実数の定数）。このプラズマは、電荷 $+e$ のイオンと電荷 $-e$ の電子からなり（$e>0$ は電気素量）、イオンの温度は $T_i$、電子の温度は $T_e$ である。どちらの粒子についても、磁場に垂直な運動の運動エネルギーの平均値は $k_{B}T$（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ はその粒子の温度）とする。

どちらの粒子もラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、案内中心近似が成り立つとし、ドリフト速度は $x=0$ の位置で評価する。また、粒子どうしの衝突、重力、電場や磁場の時間変化、プラズマの電流がつくる磁場の補正は無視する。

$E_0$ の値を、イオンの案内中心の平均ドリフト速度（$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと勾配ドリフトの和を、垂直運動エネルギーについて平均したもの）が $0$ になるように選んだ。このとき、電子の案内中心の平均ドリフト速度の $y$ 成分を、$k_B,T_i,T_e,e,B_0,L$ を用いて表せ。SI 単位系を用いる。

真空中に円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸に沿って、無限に長い細い直線導線を置く。導線には $z$ 軸の正の向きに定常電流 $I$（$I>0$）が流れている。また、導線は単位長さあたり $\lambda$ の一様な電荷をもつ。電荷の分布は時間変化しないものとする。このとき導線のまわりの磁場と電場は
$$\mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\phi }},\mathbf{E}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\hat{\mathbf{r}}$$
である。ここで ${\mu }_0$ は真空の透磁率、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

この場の中で、陽子（電荷 $e>0$）が導線から距離 $r_0$ の位置を中心にラーモア運動をしている。陽子の案内中心は磁力線（$z$ 軸を中心とする円）に沿って動く。案内中心の位置で測った、磁力線に平行な運動の運動エネルギーを $K_1$、磁場に垂直な旋回運動の運動エネルギーを $K_2$ とする（$K_1>0$, $K_2>0$）。

ラーモア半径は $r_0$ に比べて十分小さいとし、案内中心の運動は 1 次のドリフト近似で扱う。考えるドリフトは $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフト・勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）・曲率ドリフトの 3 つとする。重力・相対論的効果・放射は無視する。

案内中心のドリフト速度の合計が $0$ になり、陽子の案内中心が平面 $z=\text{一定}$ 内の半径 $r_0$ の円の上にとどまるとき、比 $\frac{\lambda }{{\epsilon }_0}$ を $e,K_1,K_2$ を用いて表せ。