電流の微視的モデル

電流 $I = e n v S$ と、導体内の一様な電場 $E = \frac{V}{L}$ から自由電子が受ける力 $e E$ と抵抗力 $k v$ のつりあい $e E = k v$ を使い、自由電子の速さや電流を求められる（断面積の異なる導体を直列につないだ場合も含む）

前提

オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）

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力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
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クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
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オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）

説明

金属の導線に電流が流れているとき、内部では自由電子がどのような速さで動いているのかを、電子 1 個の運動から考える技能です。電流を自由電子の数密度 $n$ ・速さ $v$ ・断面積 $S$ で表す式 $I = e n v S$ を使います。さらに、電場から受ける力 $e E$ と抵抗力 $k v$ のつりあい $e E = k v$ を使えば、電圧 $V$ から電子の速さや電流を求められます。断面積の違う導線を直列につないだとき、どこで電子が速く動くかを調べる場面でも使います。

なぜそうしてよいのか

電流の式 $I = e n v S$ の理由：断面積 $S$ の導線の中で、自由電子（電荷の大きさ $e$ ）が 1 m³ あたり $n$ 個あり、全部が同じ速さ $v$ で動いているとします。ある断面を考えると、時間 $Δ t$ の間に電子は $v Δ t$ だけ進みます。そのため、断面から手前 $v Δ t$ までの部分、つまり体積 $S v Δ t$ の中にある電子が、この間に断面を通り抜けます。その個数は $n S v Δ t$ 個で、運ばれる電気量は $e n S v Δ t$ です。電流は 1 秒あたりに断面を通る電気量なので、 $Δ t$ で割って $I = e n v S$ となります。

速さが一定になる理由 $e E = k v$ ：長さ $L$ の導体の両端に電圧 $V$ をかけると、内部には一様な電場 $E = \frac{V}{L}$ ができます。自由電子はこの電場から大きさ $e E$ の力を受けて加速しようとします。しかし、電子は陽イオン（原子）とぶつかりながら進みます。この妨げを平均すると、速さに比例する抵抗力 $k v$ （ $k$ は比例定数）として表せます。速くなるほど抵抗力が大きくなるので、やがて $e E = k v$ でつりあい、電子は一定の速さ $v = \frac{e E}{k} = \frac{e V}{k L}$ で進みます。電子は負の電荷をもつので、動く向きは電場（電流）の向きと逆です。

オームの法則とのつながり：この $v$ を $I = e n v S$ に代入すると $I = \frac{e ^{2} n S}{k L} V$ となり、 $I$ は $V$ に比例します。つまりオームの法則 $V = R I$ が出てきて、抵抗は $R = \frac{k L}{e ^{2} n S}$ です。長いほど、細いほど抵抗が大きいという性質（抵抗率 $ρ = \frac{k}{e ^{2} n}$ ）も、このモデルで説明できます。

手順

導体の長さ $L$ と、その導体の両端の電圧 $V$ から、内部の電場の強さを求める： $E = \frac{V}{L}$
自由電子が受ける力 $e E$ と抵抗力 $k v$ のつりあいの式を立て、速さを求める： $e E = k v$ より $v = \frac{e E}{k} = \frac{e V}{k L}$
電流を $I = e n v S$ で求める。逆に電流がわかっているときは、 $v = \frac{I}{e n S}$ として速さを求める
断面積の違う導体を直列につないだときは、どの部分でも電流 $I$ が等しいことを使う： $e n_{1} v_{1} S_{1} = e n_{2} v_{2} S_{2}$ 。電圧と電場は導体ごとに $E_{1} = \frac{V _{1}}{L _{1}}$ のように、その導体の電圧と長さで求める

例題

長さ $L$ 、断面積 $S$ の一様な金属導線の両端に、電圧 $V$ をかけた。導線内には 1 m³ あたり $n$ 個の自由電子があり、電子の電荷の大きさを $e$ とする。自由電子は、導線内の一様な電場から受ける力と、速さ $v$ に比例する抵抗力 $k v$ （ $k$ は正の定数）がつりあって、一定の速さで動いているとする。導線を流れる電流の大きさ $I$ を、 $e, n, S, V, k, L$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1：導線内の電場は一様なので、その強さは $E = \frac{V}{L}$ である。

手順2：自由電子が電場から受ける力の大きさは $e E = \frac{e V}{L}$ である。これが抵抗力 $k v$ とつりあうので、 $\frac{e V}{L} = k v$ となる。よって $v = \frac{e V}{k L}$ である。

手順3： $I = e n v S$ に $v$ を代入すると、 $I = e n S \cdot \frac{e V}{k L} = \frac{e ^{2} n S V}{k L}$ となる。

（参考：この結果は $I$ が $V$ に比例することを表しており、抵抗 $R = \frac{k L}{e ^{2} n S}$ のオームの法則と一致する。）

答え: $\frac{e ^{2} n S V}{k L}$

よくある誤り

断面積の違う導線を直列につないだとき、電子の速さはどこでも同じだとしてしまう誤り。正しくは、どこでも同じなのは電流 $I$ のほうである。同じ金属（同じ $n$ ）なら $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ となり、細い部分ほど電子は速い。たとえば $S_{2} = \frac{1}{2} S_{1}$ なら $v_{2} = 2 v_{1}$ になる。
直列につないだ導体の電場を、回路全体の電圧と全体の長さで $E = \frac{V}{L _{1} + L _{2}}$ と計算してしまう誤り。断面積などが違えば、電場は導体ごとに違う。正しくは、各導体にかかる電圧を $V_{1} = R I$ などで求めてから $E_{1} = \frac{V _{1}}{L _{1}}$ とする。
$I = e n v S$ の $S$ を、mm² のまま代入してしまう誤り。正しくは m² に直してから代入する： $1 mm^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ 。
電子の運動の向きを、電流（電場）の向きと同じにしてしまう誤り。電子の電荷は負なので、電場から受ける力 $e E$ の向きは電場と逆である。そのため電子は電流と逆向きに動く。式 $I = e n v S$ や $e E = k v$ の $e$ は、電荷の大きさ（正の値）として使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
同じ金属でできた 2 本の円柱形の導線をつないで、1 本の導体をつくった。部分 1 は長さ $L$ 、断面積 $S$ 、部分 2 は長さ $L$ 、断面積 $2 S$ で、部分 1 の一端と部分 2 の一端が接合されている。この導体の両端（部分 1 の接合されていない端と、部分 2 の接合されていない端）のあいだに一定の電圧 $V$ を加えた。
金属中の自由電子について、次のモデルで考える。自由電子 1 個の電気量は $- e$ で、単位体積あたりの自由電子の数は $n$ である。各部分の中では、電場は導体の軸に平行で一様であり、自由電子は電場から受ける力のほかに、速さ $v$ に比例する大きさ $k v$ （ $k$ は正の定数）の抵抗力を運動の向きと逆向きに受ける。自由電子の運動は定常的で、各部分の中で一定の速さで動いているものとする。接合部の抵抗や、接合部付近での電場の乱れは無視する。
部分 1 の中での自由電子の速さを、 $e$ , $V$ , $k$ , $L$ を用いて表せ。
部分 1（断面積 $S$ ）部分 2（断面積 $2 S$ ） $L$ $L$ 電圧 $V$
図は正確とは限りません

この技能の次に学べること

ローレンツ力と荷電粒子の等速円運動（高校物理電磁気と交流）
プラズマ中の電磁波（大学物理電磁波と電磁場）