プラズマ中の電磁波

電子の運動方程式から電流密度を求めてマクスウェル方程式と組み合わせ、分散関係 $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ （ $ω_{p}^{2} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m}$ ）や、電場・磁場・電子の運動のエネルギー配分を求められる

前提

ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
運動方程式（高校物理力と運動）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
電流の微視的モデル（高校物理電流と回路）

この技能までの道筋（168 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
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小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
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クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
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コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
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電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
電流の微視的モデル（高校物理電流と回路）

説明

プラズマ（自由に動ける電子と、正の電荷をもつイオンが混ざった電気的に中性な気体）の中を電磁波が進むと、電子が電場に揺さぶられて電流が流れ、その電流が電磁波そのものに影響します。この技能では、電子の運動方程式から電流密度を求め、マクスウェル方程式と組み合わせて、角振動数 $ω$ と波数 $k$ の関係（分散関係） $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ を導きます。ここで $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m}$ はプラズマ振動数です。電離層で短波ラジオが反射される理由や、波のエネルギーが電場・磁場・電子の運動にどう分配されるかを調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

簡単なモデルとして、電子（質量 $m$ 、電荷 $- e$ 、数密度 $n$ ）だけが動き、重いイオンは静止しているとします。電子の熱運動と衝突は無視し、電子の速さは $c$ よりずっと小さいので磁場からの力も無視します。 $z$ 方向に進む横波で、電場が $E_{x} = E_{0} e^{i (k z - ω t)}$ （実際の値はこの実部）とすると、電子の運動方程式 $m \frac{d v _{x}}{d t} = - e E_{x}$ で $\frac{d}{d t} \to - iω$ と置きかえて
$v_{x} = \frac{e E _{x}}{iω m} = - \frac{i e}{mω} E_{x}, J_{x} = - n e v_{x} = \frac{in e ^{2}}{mω} E_{x}$
が得られます。電流は電場より位相が $π /2$ ずれていて、抵抗のように熱を出すのではなく、コイルのようにエネルギーを出し入れするだけです。

マクスウェル方程式 $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ 、 $\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ を組み合わせます。1 つ目の回転をとり 2 つ目を代入すると $\nabla \times (\nabla \times E) = - μ_{0} \partial_{t} J - μ_{0} ε_{0} \partial_{t}^{2} E$ です。横波では $\nabla \cdot E = 0$ なので左辺は $- \nabla^{2} E$ となり、 $\nabla^{2} \to - k^{2}$ 、 $\partial_{t} \to - iω$ を使うと
$k^{2} E_{x} = iω μ_{0} J_{x} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} E_{x} = - \frac{μ _{0} n e ^{2}}{m} E_{x} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} E_{x}$
両辺に $c^{2} = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}}$ を掛けて整理すると $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ となります。真空の $ω = c k$ に「電子が電場を打ち消そうとする効果」の $ω_{p}^{2}$ が加わった形です。 $ω < ω_{p}$ では $k^{2} < 0$ となって波は進めず（振幅が指数関数的に減衰し、入射波は反射される）、 $ω > ω_{p}$ のときだけ伝わります。

エネルギーの配分も同じ計算から分かります。ファラデーの法則から磁場の振幅は $B_{0} = \frac{k}{ω} E_{0}$ 、電子の速度の振幅は $v_{0} = \frac{e E _{0}}{mω}$ です。時間平均（ $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ ）をとると、
$⟨ \frac{ε _{0}}{2} E^{2} ⟩ = \frac{ε _{0} E _{0}^{2}}{4}, ⟨ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} ⟩ = \frac{ε _{0} E _{0}^{2}}{4} \cdot \frac{c ^{2} k ^{2}}{ω ^{2}}, ⟨ \frac{1}{2} nm v^{2} ⟩ = \frac{ε _{0} E _{0}^{2}}{4} \cdot \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}$
となり、分散関係から（磁場のエネルギー）＋（電子の運動エネルギー）＝（電場のエネルギー）がいつも成り立ちます。

手順

電場を $E_{x} = E_{0} e^{i (k z - ω t)}$ とおき、電子の運動方程式 $m \frac{d v _{x}}{d t} = - e E_{x}$ を $\frac{d}{d t} \to - iω$ で解いて $v_{x} = - \frac{i e}{mω} E_{x}$ を求める
電流密度 $J_{x} = - n e v_{x} = \frac{in e ^{2}}{mω} E_{x}$ を求める
マクスウェル方程式から作った波の式 $k^{2} E_{x} = iω μ_{0} J_{x} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} E_{x}$ に代入し、分散関係 $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ （ $ω_{p}^{2} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m}$ ）を得る
与えられた $ω$ と $ω_{p}$ から $k = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c}$ を求める（ $ω > ω_{p}$ のときだけ波が伝わる）
必要に応じて $B_{0} = \frac{k}{ω} E_{0}$ 、 $v_{0} = \frac{e E _{0}}{mω}$ から各エネルギー密度の時間平均を求め、配分を比べる

例題

電子の数密度 $n$ の一様なプラズマ中を、角振動数 $ω$ の横波の電磁波が進む。イオンは動かず、電子（質量 $m$ 、電荷 $- e$ ）の熱運動・衝突・磁場から受ける力は無視する。真空の誘電率を $ε_{0}$ 、光速を $c$ とし、 $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m}$ とおく。 $ω = 2 ω_{p}$ のとき、この波の波数 $k$ （ $k > 0$ ）を $ω_{p}$ と $c$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $E_{x} = E_{0} e^{i (k z - ω t)}$ とおくと、運動方程式 $m (- iω) v_{x} = - e E_{x}$ より $v_{x} = - \frac{i e}{mω} E_{x}$ 。

手順 2: $J_{x} = - n e v_{x} = \frac{in e ^{2}}{mω} E_{x}$ 。

手順 3: 波の式に代入すると
$k^{2} E_{x} = iω μ_{0} \cdot \frac{in e ^{2}}{mω} E_{x} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} E_{x} = (\frac{ω ^{2}}{c ^{2}} - \frac{μ _{0} n e ^{2}}{m}) E_{x}$
$c^{2}$ を掛けて $μ_{0} c^{2} = \frac{1}{ε _{0}}$ を使うと $c^{2} k^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2}$ 、すなわち $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ 。

手順 4: $ω = 2 ω_{p} > ω_{p}$ なので波は伝わり、
$k = \frac{( 2 ω _{p} ) ^{2} - ω _{p}^{2}}{c} = \frac{3 ω _{p}}{c}$

（手順 5 の参考: このとき電子の運動エネルギーは電場のエネルギーの $ω_{p}^{2} / ω^{2} = \frac{1}{4}$ 、磁場のエネルギーは $\frac{3}{4}$ で、合計は電場のエネルギーに等しい。）

答え: $\frac{3 ω _{p}}{c}$

よくある誤り

分散関係を $ω^{2} = c^{2} k^{2} - ω_{p}^{2}$ や $c^{2} k^{2} = ω^{2} + ω_{p}^{2}$ と符号を逆にしてしまう誤り。正しくは $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ で、 $ω < ω_{p}$ の波は伝わらない（ $k^{2} < 0$ ）。
電子の速度を $v_{x} = \frac{e}{mω} E_{x}$ のように位相を無視して実数で書き、電流を電場と同位相にしてしまう誤り。 $\frac{d}{d t} \to - iω$ から $v_{x} = - \frac{i e}{mω} E_{x}$ となり、電流 $J_{x} = \frac{in e ^{2}}{mω} E_{x}$ は電場と位相が $π /2$ ずれる。同位相にすると分散関係に虚部が出て、減衰する波と誤解する。
プラズマ振動数を $ω_{p}^{2} = \frac{n e}{ε _{0} m}$ や $\frac{n e ^{2}}{m}$ としてしまう誤り。電流 $J \propto n e \cdot v$ と速度 $v \propto e / m$ で $e$ が 2 回入り、 $μ_{0} c^{2} = 1/ ε_{0}$ で $ε_{0}$ が出るので、正しくは $ω_{p}^{2} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m}$ 。
位相速度 $\frac{ω}{k}$ が $c$ を超えるので相対論に反すると考えてしまう誤り。エネルギーや信号が伝わる速さは群速度 $\frac{d ω}{d k} = \frac{c ^{2} k}{ω}$ で、 $ω > ω_{p}$ では $\frac{c ^{2} k}{ω} = c 1 - ω_{p}^{2} / ω^{2} < c$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電子密度 $n$ の一様なプラズマ中を、角振動数 $ω$ の横波の電磁波が $z$ 軸の正の向きに伝わっている。電子の質量を $m$ 、電気素量を $e$ 、真空の誘電率を $ε_{0}$ 、真空中の光速を $c$ とする。イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動と衝突、電磁波の磁場から電子が受ける力は無視する。プラズマ角振動数を $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m}$ とする。
$ω = 2 ω_{p}$ のとき、この電磁波の位相速度 $\frac{ω}{k}$ （ $k > 0$ は波数）は $c$ の何倍か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

電磁波の遮断と遮断密度（大学物理プラズマ物理）