べき級数と収束半径

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 3^n}$$ の和を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

当たりの出る確率が $\frac{1}{4}$ のくじがある。このくじを 1 回ずつ引き、引いたくじは毎回もとに戻す。各回の結果は互いに独立であるとする。初めて当たりが出るまでに引いた回数（当たりが出た回も含める）を $X$ とする。$X$ の確率分布は
$$P(X=k)=\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n(n+2)}{3^n}$$
の和を求めよ。

実数 $x$ に対して、べき級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n\cdot 3^n}$$
が収束するような $x$ の範囲を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ を内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。閉部分空間
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$$
と、$u_n=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ で定まるベクトル $u=(u_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^2$ をとる。$u$ と $M$ との距離 $d=\underset{x\in M}{\inf }\Vert u-x\Vert$ を求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)$$ ただし $n$ は $0$ 以上の整数を動く。必要なら、$z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ に対して成り立つ部分分数展開 $$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$ を用いてよい。答えは根号と円周率 $\pi$ を用いて表せ。

実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_0(x)$ をべき級数
$$J_0(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(k!{)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}$$
で定める。広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }x{e}^{-\sqrt{3}x}{J}_0(x)dx$$
は収束する。$I$ の値を求めよ。

$N$ を平均 $2$ のポアソン分布に従う確率変数、すなわち $P(N=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}$ $(k=0,1,2,\dots )$ を満たす確率変数とする。$X_1,X_2,\dots$ はそれぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{-x}$ $(x>0)$）に従う確率変数で、$N,X_1,X_2,\dots$ は互いに独立であるとする。
$$S=\sum _{i=1}^N{X}_i$$
とおく（ただし $N=0$ のときは $S=0$ とする）。$E[S^3]$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

実数 $x$ に対し、第 $1$ 種ベッセル関数 $J_1(x)$ をべき級数
$$J_1(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(k+1)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+1}$$
で定める。$J_1(x)$ の正の零点はすべて単純で、可算無限個ある。それらを小さい順に $0<{\beta }_1<{\beta }_2<{\beta }_3<\cdots$ とする。このとき無限級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{\beta }_k^6}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

実ヒルベルト空間
$${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$
を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{n}=0,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}_n}{n}=0\right\}$$
で定め、$y=(y_n{)}_{n\ge 1}$ を $y_n=\frac{1}{2^n}$ とする。このとき
$$d^2=\underset{x\in M}{\inf }\Vert y-x{\Vert }^2$$
の値を求めよ。

$n$ を正の整数とする。座標平面上で、原点 $(0,0)$ から点 $(2n,0)$ まで、1 歩ごとに $(1,1)$ または $(1,-1)$ だけ進む経路のうち、途中で $y$ 座標が一度も負にならないものを考える（このような経路をディック経路という）。ディック経路 $P$ に対し、$P$ が通る点 $(i,0)$ で $1\le i\le 2n$ を満たすものの個数を $r(P)$ とする（$x$ 軸に戻る回数。終点 $(2n,0)$ も数える）。

$$S_n=\sum _{P}r(P{)}^2$$

とおく。ただし、和は長さ $2n$ のディック経路 $P$ すべてにわたってとる。$S_n$ を $n$ の式で表せ。