$\sin x/x$ の極限

次の極限値を求めよ。ただし、$x$ は実数とする。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{3x}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{2x}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{3x}$$

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ（パラメータ $1$ の指数分布に従う）とする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]={\int }_{\Omega }n\sin \frac{X(\omega {)}^2}{n}P(d\omega )$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、実数値確率変数 $Y_n$ の特性関数が
$${\phi }_n(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]=\frac{1}{1+4n(n-1){\sin }^2\frac{t}{2n}}(t\in \mathbb{R})$$
で与えられているとする。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n|\le \log 3\right)$$
を求めよ。

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{2x}-1\right)\tan x}{1-\cos 3x}$$

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{3x}-e^x\right)\tan 2x}{1-\cos 2x}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x\sin 2x}-\cos x}{x\left(e^{3x}-1\right)}$$

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}\right)}^{\frac{1}{x\sin x}}$$
ただし、$e$ は自然対数の底である。

次の極限値を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{4^k{\cos }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}$$

$a$ を正の定数とする。極限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{a+x\sin 2x}-2}{e^{x^2}-\cos x}$$
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{a{x}^2}-b\cos 3x}{x\sin 2x}=4$$
が成り立つとき、$a+b$ の値を求めよ。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=\frac{1}{4{\cos }^2\frac{\pi }{4}}+\frac{1}{16{\cos }^2\frac{\pi }{8}}+\frac{1}{64{\cos }^2\frac{\pi }{16}}+\cdots$$
は収束する。その和を求めよ。

すべての実数 $x$ で定義された関数 $f(x)$ が、$x=0$ で連続で $f(0)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して
$$f(2x)=f(x)\cos x+\frac{3}{2}x\sin 2x$$
を満たしている。$f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2}{{\sin }^{2}x}dx$$ ただし、被積分関数の $x=0$ における値は $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{{\sin }^{2}x}=1$ と定めるものとし、$\log$ は自然対数とする。