特別な直角三角形の辺の比

1 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線をひき、辺 $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とします。線分 $\mathrm{AH}$ の長さは何 cm ですか。

半径が $6\text{cm}$、弧の長さが $4\pi \text{cm}$ のおうぎ形 $\mathrm{OAB}$ がある（$\mathrm{O}$ は中心、$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ は弧の両端）。弦 $\mathrm{AB}$ と弧 $\mathrm{AB}$ で囲まれた部分の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

1 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。次の 3 つの弧をかく。

• 点 $\mathrm{A}$ を中心とし、$\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ半径 $6\text{cm}$ の弧（正三角形の外側にふくらむ方）
• 点 $\mathrm{B}$ を中心とし、$\mathrm{C}$ と $\mathrm{A}$ を結ぶ半径 $6\text{cm}$ の弧（正三角形の外側にふくらむ方）
• 点 $\mathrm{C}$ を中心とし、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を結ぶ半径 $6\text{cm}$ の弧（正三角形の外側にふくらむ方）

この 3 つの弧で囲まれた図形の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、各弧の中心角は $60^{\circ }$ である。

1 辺の長さが $6\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ がある。頂点 $\mathrm{A}$ を中心とし半径 $6\text{cm}$ の円の弧のうち、正方形の内部を通って $\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ を結ぶもの（弧 $\mathrm{BD}$）と、頂点 $\mathrm{B}$ を中心とし半径 $6\text{cm}$ の円の弧のうち、正方形の内部を通って $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶもの（弧 $\mathrm{AC}$）をかく。2 つの弧の交点を $\mathrm{P}$ とする。

辺 $\mathrm{BC}$、弧 $\mathrm{AC}$ のうち $\mathrm{P}$ から $\mathrm{C}$ までの部分、弧 $\mathrm{BD}$ のうち $\mathrm{B}$ から $\mathrm{P}$ までの部分の 3 つで囲まれた図形の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。ただし、円周率は $\pi$ とする。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ において、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{cm}$、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ }$ である。対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とするとき、線分 $\mathrm{BE}$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ を通り、辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線を $\ell$ とします。正三角形 $\mathrm{ABC}$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

円錐を底面に平行な平面で切り、頂点をふくむ方の円錐を取り除いた立体（円錐台）があります。この立体の下の底面の半径は $4\text{cm}$、上の底面の半径は $2\text{cm}$、母線の長さ（側面上で、下の底面の円周から上の底面の円周までまっすぐのびた線分の長さ）は $8\text{cm}$ です。下の底面の円周上の点 $A$ から、側面にそって糸をちょうど $1$ 周かけて、ふたたび点 $A$ まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。