空間図形の問題

長さを求める

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、$\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ で $\mathrm{BM}=3$ です。$△\mathrm{ABM}$ で三平方の定理より
$$\mathrm{AM}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$
直線 $\ell$ と辺 $\mathrm{BC}$ は平行なので、$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ から直線 $\ell$ までの距離はどちらも $3\sqrt{3}$ です。

図形を分ける

$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ から直線 $\ell$ に垂線を引き、交点をそれぞれ $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ とします。四角形 $\mathrm{PBCQ}$ は長方形で、$\mathrm{PB}=\mathrm{QC}=3\sqrt{3}$、$\mathrm{PQ}=\mathrm{BC}=6$、$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=3$ です。

正三角形 $\mathrm{ABC}$ は、長方形 $\mathrm{PBCQ}$ から直角三角形 $\mathrm{APB}$ と $\mathrm{AQC}$ を取り除いた図形です。よって
$$(\text{求める体積})=(\text{長方形}\mathrm{PBCQ}\text{の回転体})-(△\mathrm{APB}\text{の回転体})-(△\mathrm{AQC}\text{の回転体})$$

それぞれの体積

- 長方形 $\mathrm{PBCQ}$ の回転体は、底面の半径 $3\sqrt{3}$、高さ $6$ の円柱で
$$\pi \times (3\sqrt{3}{)}^2\times 6=\pi \times 27\times 6=162\pi$$
- $△\mathrm{APB}$ の回転体は、底面の半径 $3\sqrt{3}$、高さ $3$ の円錐で
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 27\times 3=27\pi$$
- $△\mathrm{AQC}$ の回転体も同じ円錐で $27\pi$

よって求める体積は
$$162\pi -27\pi -27\pi =108\pi ({\text{cm}}^3)$$

正三角形の高さは $3\sqrt{3}$ cm。直線 $\ell$ は A を通り BC に平行なので、BC と $\ell$ の距離は $3\sqrt{3}$ cm。
軸 $\ell$ にそって、A から BC の中点 M への垂線の足を A とみなすと、軸方向の長さは B から C まで $6$ cm。BC を回転させると半径 $3\sqrt{3}$ cm、高さ $6$ cm の円柱の側面ができる。
できる立体は、この円柱から、頂点 A を共通の頂点とし底面が半径 $3\sqrt{3}$ cm の円で高さ $3$ cm の円錐 2 つ（AB 側と AC 側）をくりぬいたものになる。
円柱の体積: $\pi \times (3\sqrt{3}{)}^2\times 6=\pi \times 27\times 6=162\pi$。
円錐 1 つの体積: $\frac{1}{3}\times \pi \times 27\times 3=27\pi$。2 つで $54\pi$。
求める体積は $162\pi -54\pi =108\pi$ (${\text{cm}}^3$)。
検算（パップス・ギュルダンの定理に頼らず別の見方）: 三角形を BC で 2 つの直角三角形に分けて考えても、円柱から円錐 2 つを引く同じ形になり、$108\pi$ で一致する。