空間図形の問題

正方形の対角線の長さは、三平方の定理より $AC=BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\text{cm}$ です。対角線の交点を $M$ とすると、$AM=BM=DM=2\sqrt{2}\text{cm}$ です。

補助の三角形をつくる

直線 $CB$, $CD$ をのばし、直線 $\ell$ との交点をそれぞれ $P$, $Q$ とします。$BD\parallel \ell$ なので、$△CBD$ と $△CPQ$ は相似で、$CB:CP=CM:CA=1:2$ です。よって $B$, $D$ はそれぞれ $CP$, $CQ$ の中点で、$AP=AQ=2BM=4\sqrt{2}\text{cm}$ です。

$△CPQ$ は、正方形 $ABCD$ に $△ABP$ と $△ADQ$ を合わせたものです。

$△CPQ$ を回転させた立体

$△CPA$ を回転させると、底面の半径 $CA=4\sqrt{2}\text{cm}$、高さ $AP=4\sqrt{2}\text{cm}$ の円錐になります。$△CQA$ も同じなので
$$2\times \frac{1}{3}\times \pi \times (4\sqrt{2}{)}^2\times 4\sqrt{2}=2\times \frac{1}{3}\times \pi \times 32\times 4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}\pi ({\text{cm}}^3)$$

$△ABP$ を回転させた立体

$B$ から $\ell$ にひいた垂線の足は $AP$ の中点で、その長さは $AM=2\sqrt{2}\text{cm}$ です。よって $△ABP$ を回転させると、底面の半径 $2\sqrt{2}\text{cm}$、高さ $2\sqrt{2}\text{cm}$ の円錐を $2$ つ、底面どうしで合わせた立体になり、その体積は
$$2\times \frac{1}{3}\times \pi \times (2\sqrt{2}{)}^2\times 2\sqrt{2}=2\times \frac{1}{3}\times \pi \times 8\times 2\sqrt{2}=\frac{32\sqrt{2}}{3}\pi ({\text{cm}}^3)$$
$△ADQ$ を回転させた立体も同じ体積です。

求める体積

正方形を回転させた立体は、$△CPQ$ を回転させた立体から、$△ABP$ と $△ADQ$ を回転させた立体を取り除いたものなので
$$\frac{256\sqrt{2}}{3}\pi -2\times \frac{32\sqrt{2}}{3}\pi =\frac{192\sqrt{2}}{3}\pi =64\sqrt{2}\pi ({\text{cm}}^3)$$

対角線 $AC=4\sqrt{2}$、$BD=4\sqrt{2}$、対角線の交点を $O$ とすると $AO=OB=OC=OD=2\sqrt{2}$。軸 $\ell$ は $A$ を通り $AC$ に垂直なので $BD$ に平行である。
正方形は直線 $AC$ について対称で、回転の軸 $\ell$ は $AC$ に垂直なので、回転体も $AC$ を含み $\ell$ に垂直な平面について対称である。そこで $△ABC$ を回転させた体積を求め、2 倍する。
$B$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$BH=AO=2\sqrt{2}$、$AH=OB=2\sqrt{2}$。
$△ABC$ は、台形 $AHBC$（$AC//HB$、$AC=4\sqrt{2}$、$HB=2\sqrt{2}$、高さ $AH=2\sqrt{2}$）から $△AHB$ を除いた図形である。
- 台形 $AHBC$ の回転体は円錐台（底面の半径 $4\sqrt{2}$ と $2\sqrt{2}$、高さ $2\sqrt{2}$）。大きい円錐（半径 $4\sqrt{2}$、高さ $4\sqrt{2}$）から小さい円錐（半径 $2\sqrt{2}$、高さ $2\sqrt{2}$）を引いて
$\frac{1}{3}\pi \times 32\times 4\sqrt{2}-\frac{1}{3}\pi \times 8\times 2\sqrt{2}=\frac{128\sqrt{2}\pi }{3}-\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}=\frac{112\sqrt{2}\pi }{3}$
- $△AHB$ の回転体は円錐（半径 $2\sqrt{2}$、高さ $2\sqrt{2}$）で $\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}$
$△ABC$ の回転体の体積は $\frac{112\sqrt{2}\pi }{3}-\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}=\frac{96\sqrt{2}\pi }{3}=32\sqrt{2}\pi$。
求める体積は $2\times 32\sqrt{2}\pi =64\sqrt{2}\pi {\text{cm}}^3$。
検算: 正方形の面積 $16$ の重心（$O$）が軸から $2\sqrt{2}$ の距離にあるので、$2\pi \times 2\sqrt{2}\times 16=64\sqrt{2}\pi$ となり一致する。