空間図形の問題

切り口の形

直線 $MN$ と、直線 $CB$, $CD$ をのばした直線との交点をそれぞれ $S$, $R$ とします。

$△AMN$ は $AM=AN=3\text{cm}$ の直角二等辺三角形なので $\angle AMN=45^{\circ }$ です。対頂角より $\angle BMS=45^{\circ }$ となり、$△BMS$ は $\angle B=90^{\circ }$ の直角二等辺三角形なので $BS=BM=3\text{cm}$ です。同じように $DR=DN=3\text{cm}$ です。よって
$$CS=CR=6+3=9(\text{cm})$$

平面 $MNG$ は $S$, $R$, $G$ を通ります。線分 $GS$ と辺 $BF$ の交点を $P$、線分 $GR$ と辺 $DH$ の交点を $Q$ とすると、切り口は五角形 $MPGQN$ です。

$△SCG$ で $BP\parallel CG$ なので
$$BP=CG\times \frac{SB}{SC}=6\times \frac{3}{9}=2(\text{cm})$$
同じように $DQ=2\text{cm}$ です。

頂点 $C$ を含む方の立体の体積

頂点 $C$ を含む方の立体は、三角すい $G\text{-}CSR$ から、三角すい $P\text{-}BSM$ と三角すい $Q\text{-}DNR$ を取り除いたものです。

三角すい $G\text{-}CSR$: 底面は $CS=CR=9\text{cm}$ の直角二等辺三角形、高さは $CG=6\text{cm}$ なので
$$\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 9\times 9\right)\times 6=81({\text{cm}}^3)$$

三角すい $P\text{-}BSM$: 底面は $BS=BM=3\text{cm}$ の直角二等辺三角形、高さは $BP=2\text{cm}$ なので
$$\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 3\times 3\right)\times 2=3({\text{cm}}^3)$$
三角すい $Q\text{-}DNR$ も同じく $3{\text{cm}}^3$ です。

よって、頂点 $C$ を含む方の立体の体積は
$$81-3-3=75({\text{cm}}^3)$$

頂点 $A$ を含む方の立体の体積

立方体の体積は $6^3=216{\text{cm}}^3$ なので
$$216-75=141({\text{cm}}^3)$$

A を原点、AB を $x$ 軸、AD を $y$ 軸、AE を $z$ 軸にとると、$M(3,0,0)$, $N(0,3,0)$, $G(6,6,6)$。

切り口の平面は $2x+2y-3z=6$ （$M$: $6=6$、$N$: $6=6$、$G$: $12+12-18=6$ で成り立つ）。

中学の方法（錐体の差）で求める。直線 $MN$ を延長し、辺 $BC$ の延長・$DC$ の延長との交点を考える代わりに、切り口が通る辺との交点を求める。
平面と辺 $AE$ ($x=y=0$) の交点は $z=-2$ となり立方体の外。平面と辺 $BF$ ($x=6,y=0$) では $12-3z=6$ より $z=2$、点 $P(6,0,2)$。辺 $DH$ ($x=0,y=6$) も同様に $Q(0,6,2)$。辺 $CG$ 上では $x=y=6$ で $24-3z=6$ より $z=6$ なので $G$。

頂点 $A$ を含まない方の立体を求める。直線 $MN$ と直線 $BC$, $DC$ の関係から、$A$ を含まない側は、頂点 $C$ を含む側である。

そこで、$A$ を含む方の体積を、$z$ の高さごとの断面積で求める（高さ $z$ での断面は $x+y<3+1.5z$ の部分）。
- $0\leqq z\leqq 2$: 断面は直角二等辺三角形で直角をはさむ辺が $3+1.5z$。面積 $\frac{(3+1.5z{)}^2}{2}$。$z$ について積分すると $21$。
- $2\leqq z\leqq 6$: 断面は正方形から角の三角形を除いた形で、面積 $36-\frac{(12-s{)}^2}{2}$ ($s=3+1.5z$)。積分すると $120$。

合計 $21+120=141{\text{cm}}^3$。

検算: 反対側は $216-141=75$。反対側は $C$ 側で、$x+y>3+1.5z$ の部分であり、$z=0$ で面積 $36-4.5=31.5$、$z=6$ で $0$ に近づく形で、平均的に $75/6=12.5$ 程度の断面積となり妥当。