空間図形

中心が O、半径が $3\text{cm}$ の球があります。この球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

底面の半径が $3\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。この円錐の側面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

台形 $\mathrm{ABCD}$ は、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ }$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$、$\mathrm{CD}=3\text{cm}$ です。この台形を、辺 $\mathrm{BC}$ をふくむ直線を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があり、四角形 $\mathrm{ABCD}$ が下の底面、四角形 $\mathrm{EFGH}$ が上の底面で、辺 $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は底面に垂直です。$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{AE}=5\text{cm}$ です。この直方体を、3 点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ を通る平面で切って 2 つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{C}$ をふくむ方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。底面は 1 辺が $6\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、4 つの側面はどれも合同な二等辺三角形です。側面の二等辺三角形 $\mathrm{OAB}$ で、辺 $\mathrm{AB}$ を底辺としたときの高さは $5\text{cm}$ です。この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

1 辺の長さが $4\text{cm}$ の立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります（四角形 $\mathrm{ABCD}$ が下の面、四角形 $\mathrm{EFGH}$ が上の面で、辺 $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は下の面に垂直です）。この立方体の 8 個の頂点がすべて 1 つの球の球面上にあるとき、この球の半径は何 $\text{cm}$ ですか。

相似な 2 つの円柱 $P$, $Q$ があり、$P$ と $Q$ の相似比は $2:3$ です。円柱 $P$ の表面積が $48\pi {\text{cm}}^2$ のとき、円柱 $Q$ の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

頂点が $\mathrm{O}$、底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上の点 $\mathrm{A}$ から、円錐の側面にそって糸を 1 周巻きつけて、もとの点 $\mathrm{A}$ までもどします。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。

中心が $\mathrm{O}$ の球があり、その表面積は $64\pi {\text{cm}}^2$ です。この球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

半径 $3\text{cm}$ の金属の球が $8$ 個あります。これらをすべて溶かして、$1$ 個の球を作りました。溶かす前後で金属の体積は変わらないものとします。できた球の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上に点 $\mathrm{A}$ をとります。点 $\mathrm{A}$ から円錐の側面にそって糸を $1$ 周巻きつけ、再び点 $\mathrm{A}$ まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります。正方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面で、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は底面に垂直な辺です。辺 $\mathrm{AE}$ 上に $\mathrm{AP}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{P}$ をとります。この立方体を $3$ 点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{P}$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{C}$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面の $△\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ の直角三角形です。頂点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の真上にあり、辺 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直で、長さはどれも $9\text{cm}$ です。

この三角柱を $3$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{E}$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{D}$ をふくむほうの立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

正三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面は $1$ 辺の長さが $3\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ と $\mathrm{DEF}$ で、頂点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の真上にあります。辺 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直で、長さはどれも $12\text{cm}$ です。

頂点 $\mathrm{A}$ から、側面にそって辺 $\mathrm{BE}$、辺 $\mathrm{CF}$ をこの順に通り、頂点 $\mathrm{D}$ まで糸をかけます。糸の長さが最も短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ ですか。

台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=4\text{cm}$、$\mathrm{AD}=3\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ です。

この台形を、直線 $\mathrm{BC}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります。長方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面で、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は底面に垂直な辺です。また、$\mathrm{AB}=5\text{cm}$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{AE}=6\text{cm}$ です。

この直方体を、3 つの頂点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ を通る平面で 2 つの立体に切り分けました。頂点 $\mathrm{A}$ をふくまない方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

底面の半径が $5\text{cm}$、高さが $12\text{cm}$ の円錐がある。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か。ただし、円周率は $\pi$ とする。

半径 $3\text{cm}$ の球が、円柱の形をした箱の中にぴったり入っています。球は箱の上の面、下の面、側面のすべてに接していて、箱の内側の底面の半径は $3\text{cm}$、内側の高さは $6\text{cm}$ です。箱の内部のうち、球が入っていないすき間の部分の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

$\angle \mathrm{C}=90^{\circ }$、$\mathrm{AC}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。この三角形を、斜辺 $\mathrm{AB}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があり、長方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ が底面に垂直な辺です。$\mathrm{AB}=5\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$、$\mathrm{AE}=6\text{cm}$ とします。頂点 $\mathrm{A}$ から、面 $\mathrm{ABFE}$ と面 $\mathrm{BCGF}$ の上を通り、辺 $\mathrm{BF}$ 上の点 $\mathrm{P}$ を通って頂点 $\mathrm{G}$ まで糸をかけます。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さ $\mathrm{AP}+\mathrm{PG}$ は何 $\text{cm}$ ですか。

球を、その中心を通る平面で切って $2$ つに分けた一方を半球といいます。ある半球の表面積（球面の部分の面積と、切り口の円の面積の和）が $27\pi {\text{cm}}^2$ です。この半球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

底面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の円錐と、半径が $3\text{cm}$ の半球があります。円錐の底面と半球の平らな面（半径 $3\text{cm}$ の円）をぴったり重ね合わせて、$1$ つの立体を作りました。

この立体の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

内側の底面の半径が $4\text{cm}$、深さが $10\text{cm}$ の円柱の形をした容器があり、底面を水平にして置いてある。この容器に、深さ $5\text{cm}$ まで水が入っている。

この容器に、半径 $3\text{cm}$ の鉄の球を静かに入れたところ、球は容器の底についた。このとき、容器の底から水面までの高さは何 $\text{cm}$ か。ただし、容器の厚さは考えず、水はこぼれないものとする。

頂点を $O$ とし、底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上の点を $A$ とし、母線 $OA$ の中点を $M$ とします。点 $A$ から円錐の側面にそって $1$ 周するように糸をかけ、点 $M$ まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

平行四辺形 $ABCD$ があり、$AB=5\text{cm}$、$BC=6\text{cm}$、$\angle ABC$ は鋭角で、$2$ 直線 $AD$ と $BC$ の距離は $4\text{cm}$ です。頂点は $A,B,C,D$ の順に並んでいます。この平行四辺形を、直線 $BC$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

底面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の円柱があります。この円柱から、円柱の上の底面を底面とし、下の底面の中心を頂点とする円錐をくりぬきました。残った立体の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

底面の半径が $6\text{cm}$、高さが $8\text{cm}$ の円錐の容器の中に、球が $1$ 個入っています。この球は、円錐の底面と側面の両方にぴったり接しています（円錐の底面にも、側面にもちょうど接する、この円錐の中に入るいちばん大きい球です）。円錐の内部のうち、球の外側の部分の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とし、容器の厚さは考えないものとします。

$AB=6\text{cm}$、$AD=4\text{cm}$、$AE=10\text{cm}$ の直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があります。長方形 $ABCD$ が底面、長方形 $EFGH$ が上面で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はどれも底面に垂直な辺です。辺 $BF$ 上に $BP=3\text{cm}$ となる点 $P$、辺 $DH$ 上に $DQ=5\text{cm}$ となる点 $Q$ をとります。$3$ 点 $A$, $P$, $Q$ を通る平面と辺 $CG$ との交点を $R$ とします。この直方体を平面 $APQ$ で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $B$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。

頂点を $O$ とし、底面の半径が $4\text{cm}$ の円錐があります。この円錐を平面の上に横にたおして置き、頂点 $O$ を中心として、平面の上をすべらないように転がしたところ、円錐はちょうど $3$ 回転して、はじめて元の位置にもどりました。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

$1$ 辺の長さが $4\text{cm}$ の立方体があります。この立方体の $8$ 個の頂点がすべて球面上にある球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

ある円錐の側面の展開図は、中心角が $120^{\circ }$ のおうぎ形です。この円錐の表面積が $36\pi {\text{cm}}^2$ のとき、円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

座標平面上に $3$ 点 $\mathrm{A}(2,0)$, $\mathrm{B}(6,0)$, $\mathrm{C}(2,6)$ があります。三角形 $\mathrm{ABC}$ を、$y$ 軸を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。ただし、座標の $1$ 目もりを $1\text{cm}$ とします。

正方形 $\mathrm{ABCD}$ を底面とする正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の高さは $4\text{cm}$、表面積は $96{\text{cm}}^2$ です。この正四角錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ を通り、辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線を $\ell$ とします。正三角形 $\mathrm{ABC}$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面 $\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=8\text{cm}$ の直角三角形で、側面はすべて長方形であり、$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=12\text{cm}$ です（$\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直です）。

辺 $\mathrm{AD}$ 上に $\mathrm{AP}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{BE}$ 上に $\mathrm{BQ}=10\text{cm}$ となる点 $\mathrm{Q}$、辺 $\mathrm{CF}$ 上に $\mathrm{CR}=7\text{cm}$ となる点 $\mathrm{R}$ をとります。

この三角柱を 3 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る平面で 2 つの立体に切り分けたとき、頂点 $\mathrm{D}$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

底面が $1$ 辺 $8\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ である正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の体積は $128{\text{cm}}^3$ です。

この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があります。正方形 $ABCD$ が底面、正方形 $EFGH$ が上面で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はどれも底面に垂直な辺です。辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AD$ の中点を $N$ とします。この立方体を $3$ 点 $M$, $N$, $G$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $A$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。

円錐を底面に平行な平面で切り、頂点をふくむ方の円錐を取り除いた立体（円錐台）があります。この立体の下の底面の半径は $4\text{cm}$、上の底面の半径は $2\text{cm}$、母線の長さ（側面上で、下の底面の円周から上の底面の円周までまっすぐのびた線分の長さ）は $8\text{cm}$ です。下の底面の円周上の点 $A$ から、側面にそって糸をちょうど $1$ 周かけて、ふたたび点 $A$ まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

$1$ 辺の長さが $4\text{cm}$ の正方形 $ABCD$ があります。頂点 $A$ を通り、対角線 $AC$ に垂直な直線を $\ell$ とします（直線 $\ell$ は対角線 $BD$ に平行で、正方形とは点 $A$ だけを共有します）。正方形 $ABCD$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。