空間図形の問題

点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線をひき、$\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とします。$\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ }$ なので、四角形 $\mathrm{AHCD}$ は長方形で、
$$\mathrm{HC}=\mathrm{AD}=4(\text{cm}),\mathrm{AH}=\mathrm{CD}=3(\text{cm}),\mathrm{BH}=6-4=2(\text{cm})$$
です。

台形は、長方形 $\mathrm{AHCD}$ と直角三角形 $\mathrm{ABH}$ に分けられます。これを $\mathrm{BC}$ を軸として 1 回転させると、
- 長方形 $\mathrm{AHCD}$ からは、底面の半径 $3\text{cm}$、高さ $4\text{cm}$ の円柱
- 三角形 $\mathrm{ABH}$ からは、底面の半径 $3\text{cm}$、高さ $2\text{cm}$ の円錐

ができ、求める立体はこの 2 つを合わせたものです。

円柱の体積は
$$\pi \times 3^2\times 4=36\pi ({\text{cm}}^3)$$
円錐の体積は
$$\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 2=6\pi ({\text{cm}}^3)$$
よって、求める体積は
$$36\pi +6\pi =42\pi ({\text{cm}}^3)$$
です。

$\angle C=90^{\circ }$ なので $CD\perp BC$ で、$D$ は直線 $BC$ から $3\text{cm}$ 離れている。$AD//BC$ なので $A$ も直線 $BC$ から $3\text{cm}$。$A$ から $BC$ に垂線 $AF$ をひくと $CF=AD=4$、$FB=6-4=2$。回転体は、半径 $3$・高さ $4$ の円柱（四角形 $AFCD$ の回転）と、底面の半径 $3$・高さ $2$ の円錐（三角形 $ABF$ の回転）をつなげたもの。体積は $\pi \times 3^2\times 4+\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 2=36\pi +6\pi =42\pi$。確かめ: $\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 2=6$。答えは $42\pi {\text{cm}}^3$。