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技能一覧 › 中学数学 相似と三平方の定理

相似な立体の体積比

相似な立体の体積比が相似比の 3 乗になることを使い、円錐や角錐を底面に平行な平面で切った立体の体積や、円錐形の容器に入った水の体積を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

形が同じで大きさだけがちがう2つの立体（相似な立体）では、長さの比（相似比）が なら、体積の比は になります。この性質を使うと、円すいや角すいを底面に平行な平面で切ったときの上の部分・下の部分の体積や、円すい形の容器に途中まで入った水の体積を、底面の半径などを求めなくても計算できるようになります。

なぜそうしてよいのか

まず立方体で考えます。1辺が の立方体の体積は 、1辺が の立方体は なので、体積の比は です。たて・横・高さの3つの方向がすべて同じ倍率でのびるので、比を3回かけることになります。

円すいでも同じです。相似比が の2つの円すいでは、底面は相似な図形（円）なので底面積の比は 、高さの比は です。体積は 底面積 高さ なので、体積の比は になります。角すいでも同じ理由で成り立ちます。

円すいを底面に平行な平面で切ると、頂点をふくむ上の部分はもとの円すいと相似な小さい円すいになります。頂点からの高さの比が相似比です。円すい形の容器（頂点が下）に入った水も、水面が底面に平行なので、容器と相似な円すいの形をしています。

手順

  1. 相似な2つの立体（もとの円すいと、切り取った小さい円すい・水の部分など）を見つける

  2. 対応する長さ（頂点からの高さ・半径など）から相似比 を求める

  3. 体積比を で求める

  4. わかっている体積と体積比から、求めたい体積を計算する。切ったあとの下の部分（円すい台）なら、もとの体積から小さい円すいの体積をひく（比なら ）

例題

円すい形の容器があり、頂点を真下に向けて、底面（容器の口）が水平になるように置いてある。容器の深さ（頂点から口までの高さ）は で、容器いっぱいに入れたときの水の体積は である。この容器に、頂点から測った水の深さが になるまで水を入れたとき、入っている水の体積を求めよ。

例題の解答

手順1: 水面は口と平行なので、水の部分は容器と相似な円すい（頂点は容器の頂点）。

手順2: 対応する高さは と なので、相似比は 。

手順3: 体積比は 。

手順4: 水の体積は 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること