最大公約数と最小公倍数

すだれ算（連除法）などを使って、2 つや 3 つの整数の最大公約数と最小公倍数（例: 12 と 18 の最大公約数 6、最小公倍数 36）を求められる

前提

約数の見つけ方（算数整数の性質）

説明

2 つや 3 つの整数について、どれにも共通な約数のうちいちばん大きい数（最大公約数）と、どれにも共通な倍数のうちいちばん小さい数（最小公倍数）を求められるようになります。数を共通な約数でつぎつぎにわっていく「すだれ算（連除法）」を使うと、すばやく求められます。同じ数ずつ余りなく分ける問題（最大公約数）や、何回目に同時にそろうかを考える問題（最小公倍数）、分数の通分・約分で使います。

なぜそうしてよいのか

ある数に 1, 2, 3, … をかけてできる数をその数の「倍数」といいます。2 つの数のどちらの約数にもなっている数を「公約数」、どちらの倍数にもなっている数を「公倍数」といいます。12 と 18 なら、12 の約数 1, 2, 3, 4, 6, 12 と 18 の約数 1, 2, 3, 6, 9, 18 に共通なのは 1, 2, 3, 6 で、最大公約数は 6 です。約数を全部書き出せばいつでも求められますが、数が大きいと大変です。

すだれ算では、2 つの数を共通な約数でわっていきます。 $12 = 6 \times 2$ 、 $18 = 6 \times 3$ のように、2 つの数は「共通な部分 × 残り」に分けられます。2 と 3 には 1 のほかに共通な約数がないので、これ以上共通にくくり出せる部分はなく、くくり出した部分 6 が最大公約数です。すだれ算では、この 6 を $2 \times 3$ のように小さな数でわりながら少しずつ取り出しているので、左にならんだわった数をかけると最大公約数になります。

公倍数は、12 の倍数でも 18 の倍数でもある数です。12 の倍数であるためには「 $6 \times 2$ 」を、18 の倍数であるためには「 $6 \times 3$ 」をふくんでいなければなりません。共通な部分 6 は 1 回分あれば両方に使えるので、両方の条件を満たすいちばん小さい数は $6 \times 2 \times 3 = 36$ です。だから最小公倍数は「左にならんだわった数 × 下に残った数ぜんぶ」になります。

3 つの数でも考え方は同じです。4, 6, 9 で、3 つすべてをわり切れる数は 1 しかないので、最大公約数は 1 です。最小公倍数を求めるときは、2 つ以上に共通な約数でわり、われない数はそのまま下におろします。
・4 と 6 を 2 でわり、9 はおろす: 2, 3, 9
・3 と 9 を 3 でわり、2 はおろす: 2, 1, 3
・下の 2, 1, 3 は、どの 2 つにも 1 より大きい共通な約数がないのでやめる
もとの数は、その数をわった左の数と、その数の下に残った数をかけたものになっています（ $4 = 2 \times 2$ 、 $6 = 2 \times 3 \times 1$ 、 $9 = 3 \times 3$ ）。左の数と下の数をすべてかけた $2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 = 36$ には、どのもとの数もそっくりふくまれるので 3 つすべての倍数です。しかも、2 つの数に共通な部分（左の 2 や 3）は 1 回分しかかけておらず、下の数どうしにはもう共通な部分がないので、むだがなく、いちばん小さい公倍数になります。

手順

数を横にならべて書き、そのすべてをわり切れる数（1 以外）を左に書いて、下に商を書く
商にもまだすべてに共通にわり切れる数があれば、同じようにわり続ける。すべてに共通にわり切れる数が 1 しかなくなったらやめる
最大公約数は、ここまでに左にならんだわった数をすべてかけた数（1 回もわれなければ最大公約数は 1）
2 つの数の最小公倍数は、左にならんだわった数と、いちばん下に残った数をすべてかけた数
3 つの数の最小公倍数では、手順2のあとも、3 つのうち 2 つ以上に共通な約数があればそれらをわり、われない数はそのまま下におろす。下の数のどの 2 つにも 1 より大きい共通な約数がなくなったらやめ、左の数と下の数をすべてかける

例題

24 と 36 の最大公約数と最小公倍数を、この順に求めなさい。

例題の解答

手順1・2: すだれ算をします。
・24 と 36 を 2 でわって、12 と 18
・12 と 18 を 2 でわって、6 と 9
・6 と 9 を 3 でわって、2 と 3
2 と 3 は 1 のほかに共通にわり切れる数がないので、やめます。

手順3: 左にならんだわった数は 2, 2, 3 なので、最大公約数は $2 \times 2 \times 3 = 12$ です。

手順4: 左の数 2, 2, 3 と、下に残った 2, 3 をすべてかけて、最小公倍数は $2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 72$ です。

（数が 2 つなので、手順5は使いません。）

たしかめ: $24 \div 12 = 2$ 、 $36 \div 12 = 3$ でどちらもわり切れ、 $72 \div 24 = 3$ 、 $72 \div 36 = 2$ でどちらでもわり切れます。

答えは、最大公約数 12、最小公倍数 72 です。

答え: $(12, 72)$

よくある誤り

最小公倍数を求めるとき、下に残った数をかけ忘れる誤り。24 と 36 の最小公倍数を、左の数だけかけて $2 \times 2 \times 3 = 12$ としてはいけません。それは最大公約数で、正しくは残った 2 と 3 もかけて 72 です。
2 つの数をそのままかけて最小公倍数にしてしまう誤り。12 と 18 の最小公倍数を $12 \times 18 = 216$ としてはいけません。216 は公倍数ですがいちばん小さくはなく、正しくは $6 \times 2 \times 3 = 36$ です。
すだれ算をとちゅうでやめてしまう誤り。24 と 36 を 2 で 1 回わって 12 と 18 になったところでやめ、最大公約数を 2 としてはいけません。12 と 18 にはまだ共通な約数 6 があるので、わり続けて、正しくは 12 です。
3 つの数の最大公約数で、2 つにしか共通でない数までかけてしまう誤り。4, 6, 9 の最大公約数を、4 と 6 を 2 でわったから 2 としてはいけません。3 つすべてをわり切れる数は 1 だけなので、最大公約数は 1 です。最小公倍数は、4 と 6 を 2 でわって 2, 3, 9、3 と 9 を 3 でわって 2, 1, 3 となるので、左の 2, 3 と下の 2, 1, 3 をかけて $2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 = 36$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$8$ と $12$ の最小公倍数を求めなさい。

この技能を使う問題

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