をある整数で割ると、 余りました。このような整数は、全部で何個ありますか。
余りから割る数を求める
「ある整数で 150 を割ると 6 余る」なら割る数は 144 の約数で 6 より大きい、のように、余りを引いた数（たりない分をたした数）の約数として割る数を求められる。いくつかの数を割って余りが同じになるときは、差の公約数として求められる
前提
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
この技能までの道筋（2 技能）
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- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
説明
「ある整数で 100 を割ると 4 余る」のように、割られる数と余りがわかっているときに、割る数として考えられる整数をすべて見つける方法です。余りを引くと割り切れる数になることを使って、割る数をその数の約数として求めます。いくつかの数を同じ整数で割って余りが同じになるときは、数どうしの差の公約数として割る数を求めます。
なぜそうしてよいのか
100 を □ で割ると 4 余るとは、100 が「□ がいくつか分」と「余り 4」に分かれるということです。余りの 4 を取りのぞいた 96 は「□ がちょうどいくつか分」なので、□ で割り切れます。つまり □ は 96 の約数です。ただし、余りは割る数より小さくなければならないので、□ は 4 より大きい数にかぎります（たとえば 96 は 2 で割り切れますが、100 を 2 で割った余りは 0 で、4 ではありません）。
同じように「100 を □ で割ると、あと 2 あれば割り切れる」（たりない分が 2）という場合は、2 をたした 102 が「□ がちょうどいくつか分」になるので、□ は 102 の約数です。このときも、割る数は「たりない分」より大きくなければなりません。たりない分は「割る数 − 余り」なので、割る数がたりない分以下だと話が合わないからです（たとえば 102 は 2 で割り切れますが、100 は 2 で割り切れてしまい「あと 2 で割り切れる」とはいえません）。だから □ は 102 の約数のうち 2 より大きいものです。
いくつかの数を同じ □ で割って余りが同じになる場合は、線分図で考えます。たとえば 38 と 62 をどちらも □ で割って余りが同じなら、38 も 62 も「□ がいくつか分 ＋ 同じ余り」です。62 から 38 を引くと、同じ余りの部分が消えて「□ がいくつか分」だけが残るので、差の は □ で割り切れます。3 つ以上の数なら、どの 2 つの差も □ で割り切れるので、□ はそれらの差の公約数、つまり差の最大公約数の約数になります。たとえば 38, 62, 98 なら、差は 、、 で、24, 36, 60 の最大公約数は 12 です。だから □ は 12 の約数 1, 2, 3, 4, 6, 12 のどれかです。この場合は余りが問題文に書かれていないので、最後に実際に割って、余りが本当に同じになるか、余りが割る数より小さいかを確かめておくと安心です。
手順
割られる数から余りを引く。たりない分が書いてあるときは、たりない分をたす。いくつかの数の余りが同じときは、数どうしの差を求める（例: 、、38, 62, 98 なら差は 24, 36, 60）
その数の約数をすべて書き出す。差が 2 つ以上あるときは、すだれ算などで差の最大公約数を求めてから、その約数を書き出す（例: 96 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96。24, 36, 60 の最大公約数は 12 で、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12）
条件に合う約数だけを残す。余りがわかっているときは余りより大きいもの、たりない分がわかっているときはたりない分より大きいものにかぎる（例: 余り 4 なら 4 より大きいもの）
余りが問題文に書かれていない（差を使う）ときは、残した数で実際に割ってみて、どの数も同じ余りになるか、余りが割る数より小さいかを確かめる（例: 38, 62, 98 を 12 で割ると、どれも余り 2）
残った数が答えの候補。問われ方にあわせて、個数・いちばん大きい数・いちばん小さい数などを答える
例題
ある整数で 100 を割ると、余りが 4 になります。このような整数は全部で何個ありますか。
例題の解答
【手順 1】余りの 4 を引くと です。96 は求める整数で割り切れます。
【手順 2】96 の約数をペアで書き出します。、、、、、 なので、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 の 12 個です。
【手順 3】余りが 4 なので、割る数は 4 より大きくなければなりません。1, 2, 3, 4 を除くと、6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 が残ります。
【手順 4】この問題は余りが書かれているので、差を使うときのような確かめは必須ではありませんが、念のため割ってみると 余り 4、 余り 4 のように、どれも余り 4 になります。
【手順 5】残った数は 8 個です。
答え: 8 個
答え:
よくある誤り
余りを引かずに、割られる数そのものの約数を考えてしまう誤り（100 の約数を数える）。正しくは の約数を考える
余り以下の約数まで数えてしまう誤り（96 の約数 12 個すべてを答えにする）。正しくは割る数は余りより大きいので、4 より大きい 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 の 8 個
余りが同じになる問題で、差ではなく数そのものの公約数を求めてしまう誤り（38 と 62 を割って余りが同じになる数を、38 と 62 の公約数 1, 2 とする）。正しくは差 の約数を考え、実際に割って余りが同じになるか確かめる
たりない分が書いてある問題で、たりない分を引いたり、たりない分以下の約数まで入れたりする誤り（「100 を割るとあと 2 で割り切れる」を の約数とする、または 102 の約数 1, 2 も入れる）。正しくはたりない分をたして の約数のうち、2 より大きいもの
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。