整数の性質の問題

$150$ を割ると $6$ 余るので、余りをのぞいた
$$150-6=144$$
はその整数で割り切れます。
$200$ を割ると $8$ 余るので、
$$200-8=192$$
もその整数で割り切れます。
したがって、求める整数は $144$ と $192$ の公約数です。

$144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3$, $192=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3$ なので、最大公約数は
$$2\times 2\times 2\times 2\times 3=48$$
公約数は $48$ の約数で、
$$1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$$
です。

ここで、余りは割る数より小さくなければなりません。余りが $6$ と $8$ なので、割る数は $8$ より大きい必要があります。
よって、条件に合うのは
$$12,16,24,48$$
の $4$ 個です。
（たとえば $12$ では $150=12\times 12+6$, $200=12\times 16+8$ となり、条件に合います。$8$ で割ると $200$ は割り切れてしまい、余りは $8$ になりません。）
よって答えは $4$ 個です。

$150$ を割って $6$ 余るので、$150-6=144$ はその整数でわりきれます。$200$ を割って $8$ 余るので、$200-8=192$ もその整数でわりきれます。つまり求める整数は、$144$ と $192$ の公約数です。

$144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3$、$192=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3$ なので、最大公約数は $2\times 2\times 2\times 2\times 3=48$ です。公約数は最大公約数 $48$ の約数なので、$1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$ です。

ただし、わる数は余りより大きくなければなりません。余りの大きいほうが $8$ なので、わる数は $8$ より大きい必要があります。よって条件に合うのは $12,16,24,48$ の $4$ 個です。

検算: $150÷12=12$ 余り $6$、$200÷12=16$ 余り $8$。$150÷48=3$ 余り $6$、$200÷48=4$ 余り $8$。どちらも条件に合います。また $8$ 以下の約数（たとえば $6$）では余り $8$ が出ないので不適です。