整数の性質の問題
難易度 3中学入試の基本レベル算数 整数の性質
で割ると 余り、 で割ると 余る整数があります。このような整数のうち、 けたで最も小さいものはいくつですか。
この問題で使うもの
- 余りの条件を満たす整数（説明と入口の問題）
- 最大公約数と最小公倍数（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（3 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
割る数と余りの差に注目しましょう。 と 、 と の差はいくつですか。
ヒント 2
求める数にあといくつかたすと、 でも でも割り切れるようになります。 と の最小公倍数を使いましょう。
ヒント 3
求める数に をたすと の倍数になります。 の倍数から をひいた数を小さい順に並べてみましょう。
答えと解説
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解説を読む
で割ると 余る数は、あと たすと で割り切れます（）。
で割ると 余る数も、あと たすと で割り切れます（）。
つまり、求める整数に をたした数は、 でも でも割り切れる数、すなわち と の公倍数です。
と の最小公倍数は なので、 をたした数は
のどれかです。それぞれから をひくと、求める整数は
となります。このうち けたで最も小さいものは です。
確かめ: 余り 、 余り で、条件に合います。
よって答えは です。
別解
で割ると 余る数は、「 で割るとあと 足りない数」とも言えます。 で割ると 余る数も、「 で割るとあと 足りない数」とも言えます。つまり、 と のどちらで割っても 足りない数なので、 の倍数より 小さい数です。
の倍数は で、 を引くと 。 けたで最も小さいのは 。
検算: あまり 、 あまり で条件に合います。 は けたなので不適です。