技能一覧 › 算数 整数の性質

余りの条件を満たす整数

「5 で割ると 3 余り、7 で割ると 5 余る」のような複数の余りの条件について、たりない数がそろうことや、条件を満たす数を順に調べて最小公倍数ごとに現れることを使い、条件に合う数（例: 3 けたで最も小さいもの）を求められる

前提

• 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. それぞれの条件について、余りと「たりない数」（わる数 − 余り）を調べる

2. わる数どうしの最小公倍数を求める

3. 余りがそろっていれば「最小公倍数の倍数 ＋ 余り」、たりない数がそろっていれば「最小公倍数の倍数 − たりない数」が条件を満たす数になる

4. どちらもそろわないときは、一方の条件を満たす数を小さい順に書き出し、もう一方の条件も満たす最初の数を見つける。条件を満たす数は、そこから最小公倍数ずつ増える

5. 「3 けたで最も小さいもの」などの指定に合う数を、最小公倍数ずつ増える数の中から選び、両方の余りをたしかめる

例題

よくある誤り

• たりない数がそろっているのに、余りをたしたりひいたりしてしまう誤り。5 でわると 2 余り、7 でわると 4 余る数を「35 の倍数 ＋ 2」や「35 の倍数 ＋ 4」としてはいけません。余りはそろっていないので、たりない数 3 を使って、正しくは「35 の倍数 − 3」です。

• 条件を満たす数の間かくを、わる数の積やわる数の和にしてしまう誤り。4 でわっても 6 でわっても 1 余る数を、$4\times 6=24$ ごとに 1, 25, 49, … としてはいけません。13 も条件を満たすので、正しくは最小公倍数 12 ごとに 1, 13, 25, … です。

• たりない数を、余りそのものとまちがえる誤り。7 でわると 4 余る数のたりない数を 4 としてはいけません。あと何をたせばわり切れるかなので、正しくは $7-4=3$ です。

• 余りもたりない数もそろわないときに、最小公倍数の倍数に余りをたしてしまう誤り。3 でわると 2 余り、5 でわると 1 余る数を「15 の倍数 ＋ 2」として 17 としてはいけません（$17÷5=3$ あまり 2）。5 でわると 1 余る数 1, 6, 11, … を調べると 11 が 3 でわって 2 余るので、正しくは 11, 26, 41, … です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $4$ で割ると $3$ 余り、$6$ で割ると $5$ 余る整数のうち、最も小さい整数を求めなさい。ただし、整数は $1$ 以上とします。

この技能を使う問題

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  $5$ で割ると $3$ 余り、$7$ で割ると $5$ 余る整数があります。このような整数のうち、$3$ けたで最も小さいものはいくつですか。

• 難易度 4（中学入試の標準レベル）

  あめが何個かあります。このあめを $4$ 個ずつ袋に入れると $3$ 個余り、$6$ 個ずつ袋に入れると $5$ 個余り、$9$ 個ずつ袋に入れると $5$ 個余ります。あめの個数が $3$ けたの数であるとき、あめの個数として考えられる数は全部で何通りありますか。