技能一覧 › 算数 整数の性質

約数の見つけ方

かけ算のペアを小さい順に調べて、ある整数の約数（例: 72 の約数）をもれなくすべて書き出せる

前提

中学までに習ったことだけで始められます。

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 1 とその数自身のペア（例: $1\times 72$）を書く

2. 小さいほうの数を 2, 3, 4, … と 1 ずつふやし、その数でわり切れるか調べる。わり切れたら、商を相手にしてペアを書く

3. 調べる数が、直前に見つけたペアの相手の数以上になったら調べるのをやめる。同じ数どうしのペアはその数を 1 回だけ数える（例: 7 は $1\times 7$ のあと 2, 3, 4, 5, 6 でわり切れず、7 で相手の 7 に追いつくのでやめる。約数は 1, 7。12 は $1\times 12$, $2\times 6$, $3\times 4$ のあと、次の 4 が相手の 4 に追いつくのでやめる）

4. 左の数を上から順に書き、つづけて右の数をいちばん下のペアの相手から上へ向かって書く（下から上へ読むと右の数はだんだん大きくなるので、これで全体が小さい順にならぶ）

例題

よくある誤り

• ペアの片方だけを書いて、相手の数を落としてしまう誤り。60 の約数を 1, 2, 3, 4, 5, 6 だけとしてはいけません。ペア $1\times 60$, $2\times 30$, … の相手も約数なので、10, 12, 15, 20, 30, 60 も入ります。

• 1 とその数自身を忘れてしまう誤り。12 の約数を 2, 3, 4, 6 としてはいけません。$1\times 12=12$ なので、正しくは 1, 2, 3, 4, 6, 12 です。

• 同じ数どうしのペアを 2 回数えてしまう誤り。36 の約数を数えるとき、$6\times 6$ から 6 を 2 こと数えて 10 こ としてはいけません。正しくは 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 の 9 こです。

• とちゅうの数を調べとばしてしまう誤り。72 の約数を $1\times 72$, $2\times 36$, $3\times 24$, $4\times 18$, $6\times 12$ だけで終え、$8\times 9$ を落としてはいけません。小さいほうの数は 1 ずつ順に、相手の数に追いつくまで調べます。正しくは 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $18$ の約数をすべて書き出すと、全部で何個ありますか。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  $72$ の約数をすべてたすと、いくつになりますか。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  $72$ の約数のうち、偶数であるものをすべてたすといくつになりますか。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  $72$ の約数のうち、偶数であるものをすべてたすといくつになりますか。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  ある整数で $150$ を割ると $6$ 余り、$200$ を割ると $8$ 余ります。このような整数は全部で何個ありますか。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $(3,4)$ を通っている。

  このグラフ上の点のうち、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点は何個あるか求めよ。

• 難易度 4（中学入試の標準レベル）

  $437,581,797$ の $3$ つの整数を、ある $2$ けたの整数で割ったところ、余りがすべて同じになりました。このような $2$ けたの整数をすべてたすといくつになりますか。

この技能の次に学べること

• 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
• 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
• 文字式で表した整数の性質 （中学数学 数と式）