文字式で表した整数の性質

連続する整数・奇数や 2 けたの自然数 $10 a + b$ を文字式で表し、展開・因数分解を使って「何倍になるか」や条件を満たす数（例: $N^{2} - M^{2} = 1188$ となる $N$ ）を求められる

前提

因数分解（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）

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算数中学高校大学大学院

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因数分解（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）

説明

連続する整数や奇数、2 けたの自然数などを文字を使った式で表し、展開や因数分解で式を変形すると、「いつでも 8 の倍数になる」のような整数の性質を説明したり、条件に合う数を見つけたりできます。たとえば、2 けたの数とその十の位と一の位を入れかえた数の 2 乗の差が決まった数になるとき、もとの数を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

整数を文字で表す $n$ を整数とすると、連続する 3 つの整数は $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ （または $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ ）と表せます。偶数は $2$ の倍数なので $2 n$ 、奇数は偶数より 1 大きいので $2 n + 1$ です。十の位が $a$ 、一の位が $b$ の 2 けたの自然数は、10 が $a$ 個と 1 が $b$ 個なので $10 a + b$ です（ $a$ は 1 から 9、 $b$ は 0 から 9 の整数）。十の位と一の位を入れかえた数は $10 b + a$ です。

「何倍か」は因数分解でわかる 式を変形して「 $8 \times (整数)$ 」の形にできれば、その数は必ず 8 の倍数です。たとえば連続する 2 つの奇数 $2 n + 1$ , $2 n + 3$ の 2 乗の差は
$(2 n + 3)^{2} - (2 n + 1)^{2} = {(2 n + 3) + (2 n + 1)} {(2 n + 3) - (2 n + 1)} = (4 n + 4) \times 2 = 8 (n + 1)$
で、 $n + 1$ は整数なので 8 の倍数です。 $n$ にいくつかの数を入れて確かめるだけでは、試していない $n$ でも成り立つかはわかりませんが、この式はどんな整数 $n$ でも成り立つので、「いつでも 8 の倍数」と言い切れます。

条件に合う数をさがす $N^{2} - M^{2}$ が決まった数になるときは、 $N^{2} - M^{2} = (N + M) (N - M)$ と因数分解します。 $N = 10 a + b$ , $M = 10 b + a$ なら $N + M = 11 (a + b)$ 、 $N - M = 9 (a - b)$ なので、 $N^{2} - M^{2} = 99 (a + b) (a - b)$ です。決まった数を 99 でわれば $(a + b) (a - b)$ の値がわかり、その数の約数を書き出して、かけ算のペアを $a + b$ , $a - b$ の候補として調べればよいことになります。このとき、 $(a + b) - (a - b) = 2 b$ は偶数なので、 $a + b$ と $a - b$ は「両方偶数」か「両方奇数」でなければなりません。

手順

問題に出てくる数を文字式で表す（連続する整数 $n$ , $n + 1$ 、奇数 $2 n + 1$ 、2 けたの数 $10 a + b$ など）。文字がとれる値の範囲も書いておく
問題の式（和・差・2 乗の差など）を作り、展開して整理するか、因数分解する
「何倍か」を問われたら、 $8 \times (整数)$ のように数と整数の積の形に変形する
値が決まっている問題では、両辺を共通な数でわって、残った積（ $(a + b) (a - b)$ など）の値を求める
その値の約数を書き出し、かけ算のペアを候補として、文字の範囲や偶数・奇数の条件に合うものを選ぶ

例題

一の位の数が 0 でない 2 けたの自然数 $N$ があり、 $N$ の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる自然数を $M$ とする。 $N^{2} - M^{2} = 1584$ となる $N$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $N$ の十の位を $a$ 、一の位を $b$ とします（ $a$ , $b$ は 1 から 9 の整数）。 $N = 10 a + b$ 、 $M = 10 b + a$ です。

【手順 2】 $N^{2} - M^{2} = (N + M) (N - M)$ と因数分解します。 $N + M = 11 a + 11 b = 11 (a + b)$ 、 $N - M = 9 a - 9 b = 9 (a - b)$ なので
$N^{2} - M^{2} = 99 (a + b) (a - b)$

【手順 3】この問題は「何倍か」を問うものではないので、この手順は使いません。

【手順 4】 $99 (a + b) (a - b) = 1584$ より、両辺を 99 でわって
$(a + b) (a - b) = 16$

【手順 5】積が正で $a + b$ は正なので、 $a - b$ も正です。また $b$ は 1 以上なので、 $(a + b) - (a - b) = 2 b$ より $a + b > a - b$ です。16 の約数は 1, 2, 4, 8, 16 なので、 $a + b > a - b$ となるペア $(a + b, a - b)$ の候補は $(16, 1)$ , $(8, 2)$ です。
- $(16, 1)$ : 一方が偶数で一方が奇数なので、 $2 b = 16 - 1 = 15$ となり $b$ が整数にならず不適。
- $(8, 2)$ : $2 a = 8 + 2 = 10$ より $a = 5$ 、 $2 b = 8 - 2 = 6$ より $b = 3$ 。どちらも 1 から 9 の整数で、条件に合います。

よって $N = 53$ です（たしかめ: $5 3^{2} - 3 5^{2} = 2809 - 1225 = 1584$ ）。

答え: $53$

よくある誤り

2 けたの自然数を $ab$ と書いて $a \times b$ の意味にしてしまう誤り。正しくは、十の位が $a$ 、一の位が $b$ の数は $10 a + b$ （たとえば 53 は $10 \times 5 + 3$ ）
連続する 2 つの奇数を $2 n + 1$ , $2 n + 2$ と表してしまう誤り。正しくは、奇数は 2 ずつ大きくなるので $2 n + 1$ , $2 n + 3$
約数のペアを調べるとき偶数・奇数の条件を確かめず、 $(a + b, a - b) = (16, 1)$ から $a = \frac{17}{2} = 8.5$ のような整数でない値を出してしまう誤り。正しくは、 $a + b$ と $a - b$ の差は $2 b$ で偶数なので、両方偶数か両方奇数のペアだけを調べる
$n$ に 1, 2 を代入して $(2 n + 3)^{2} - (2 n + 1)^{2}$ が $16$ , $24$ になったことだけから「いつでも 8 の倍数」と結論してしまう誤り。いくつか試しただけでは、試していない $n$ で成り立つかはわからない。正しくは、 $(2 n + 3)^{2} - (2 n + 1)^{2} = 8 (n + 1)$ と変形し、 $n + 1$ が整数なので、どんな整数 $n$ でも 8 の倍数だと説明する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
連続する 2 つの偶数があります。 $n$ を整数として、小さいほうの偶数を $2 n$ 、大きいほうの偶数を $2 n + 2$ と表します。
大きいほうの偶数の 2 乗から小さいほうの偶数の 2 乗をひいた差は、 $n$ がどんな整数であっても、つねにこの 2 つの偶数の和の何倍になりますか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
2 次方程式の文章題（中学数学方程式）