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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

一の位の数が $0$ でない 2 けたの自然数 $N$ があります。 $N$ の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる 2 けたの自然数を $M$ とします。

$N^{2} - M^{2} = 1188$ となるとき、 $N$ を求めなさい。

この問題で使うもの

文字式で表した整数の性質（説明と入口の問題）
因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$N$ の十の位を $a$ 、一の位を $b$ として、 $N$ と $M$ を文字式で表しましょう。

ヒント 2

$N^{2} - M^{2} = (N + M) (N - M)$ と因数分解し、 $N + M$ と $N - M$ をそれぞれ $a$ , $b$ で表すと、 $99$ でくくれます。

ヒント 3

$(a + b) (a - b) = 12$ になります。 $a + b$ と $a - b$ の和 $2 a$ が偶数であることに注目して、組を絞りこみましょう。

答えと解説

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解説を読む

$N$ の十の位の数を $a$ 、一の位の数を $b$ とすると、 $a$ , $b$ は $1$ 以上 $9$ 以下の整数で
$N = 10 a + b, M = 10 b + a$
と表せます。

因数分解の公式 $X^{2} - Y^{2} = (X + Y) (X - Y)$ を使うと
$N^{2} - M^{2} = (N + M) (N - M)$
ここで
$N + M = 11 a + 11 b = 11 (a + b), N - M = 9 a - 9 b = 9 (a - b)$
なので
$N^{2} - M^{2} = 99 (a + b) (a - b)$
となります。

$N^{2} - M^{2} = 1188$ より
$99 (a + b) (a - b) = 1188$
$(a + b) (a - b) = 12$
$a + b$ は正なので $a - b$ も正で、 $a + b > a - b$ です。積が $12$ になる組 $(a + b, a - b)$ は
$(12, 1), (6, 2), (4, 3)$
の 3 通りです。

また、 $(a + b) + (a - b) = 2 a$ は偶数なので、 $a + b$ と $a - b$ はどちらも偶数か、どちらも奇数でなければなりません。この条件にあうのは $(6, 2)$ だけです。

$a + b = 6$ 、 $a - b = 2$ を解くと $a = 4$ 、 $b = 2$ となり、どちらも $1$ 以上 $9$ 以下なので条件を満たします。

したがって $N = 42$ です。

（確かめ： $4 2^{2} - 2 4^{2} = 1764 - 576 = 1188$ ）

別解

$N$ の十の位を $a$ 、一の位を $b$ とすると $N = 10 a + b$ 、 $M = 10 b + a$ （ $1 \leq a \leq 9$ 、 $1 \leq b \leq 9$ ）。
$N^{2} - M^{2} = (N + M) (N - M) = 11 (a + b) \times 9 (a - b) = 99 (a + b) (a - b)$ 。
$99 (a + b) (a - b) = 1188$ より $(a + b) (a - b) = 12$ 。
$a + b$ と $a - b$ は偶奇が同じで、 $a + b > a - b > 0$ なので、積が $12$ になる組は $(a + b, a - b) = (6, 2)$ のみ。( $(12, 1)$ 、 $(4, 3)$ は偶奇が異なり不適、 $a + b \leq 18$ 。)
よって $a = 4$ 、 $b = 2$ 、 $N = 42$ 。
検算: $M = 24$ 、 $4 2^{2} - 2 4^{2} = 1764 - 576 = 1188$ 。

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