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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

正の数 $p$ について、 $p$ 以下の最大の整数を $p$ の整数部分といい、 $p$ から整数部分をひいた数を $p$ の小数部分という。 $\frac{6}{3 - 3}$ の小数部分を $a$ とするとき、 $a (a + 4)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

分母の有理化（説明と入口の問題）
平方根の意味と根号の簡単化（説明と入口の問題）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $\frac{6}{3 - 3}$ の分母を有理化して、簡単な形にしましょう。

ヒント 2

$(3 - 3) (3 + 3) = 9 - 3 = 6$ を使います。また $3$ がどの整数の間にあるかを考えます。

ヒント 3

$\frac{6}{3 - 3} = 3 + 3$ で、その整数部分は $4$ です。

答えと解説

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23

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解説を読む

まず分母を有理化します。分母と分子に $3 + 3$ をかけると、
$\frac{6}{3 - 3} = \frac{6 ( 3 + 3 )}{( 3 - 3 ) ( 3 + 3 )} = \frac{6 ( 3 + 3 )}{9 - 3} = 3 + 3$

$1 < 3 < 4$ より $1 < 3 < 2$ なので、 $4 < 3 + 3 < 5$ です。よって整数部分は $4$ で、小数部分は
$a = (3 + 3) - 4 = 3 - 1$

このとき $a + 4 = 3 + 3$ なので、
$a (a + 4) = (3 - 1) (3 + 3) = 3 + 33 - 3 - 3 = 23$

別解

$\frac{6}{3 - 3} = \frac{6 ( 3 + 3 )}{( 3 - 3 ) ( 3 + 3 )} = \frac{6 ( 3 + 3 )}{6} = 3 + 3$ 。
$1 < 3 < 2$ より $4 < 3 + 3 < 5$ なので整数部分は $4$ 、小数部分は $a = 3 + 3 - 4 = 3 - 1$ 。
$a + 4 = 3 + 3$ なので $a (a + 4) = (3 - 1) (3 + 3) = 3 + 33 - 3 - 3 = 23$ 。
検算: $a \approx 0.732$ 、 $a + 4 \approx 4.732$ 、積 $\approx 3.464 \approx 23$ 。

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