文字式の計算（同類項・分配法則）

$5 (x - y) - (3 x + y)$ や $\frac{2 a - b}{3} - \frac{a + b}{2}$ のような 1 次式・多項式の加減と、単項式の乗除を計算できる

前提

正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）

説明

数のかわりに文字（ $x$ や $a$ など）を使った式を、かっこをはずしたり、同じ文字の部分をまとめたりして簡単な形にできるようになります。 $5 (x - y) - (3 x + y)$ のような式のたし算・ひき算や、分数の形の式のひき算、 $6 a^{2} b \div 3 a$ のような単項式のかけ算・わり算をあつかいます。方程式を解くときや、数量の関係を式で表すときの土台になる計算です。

なぜそうしてよいのか

ことばの約束 文字は「まだ決まっていない数」を表します。 $3 \times x$ は $\times$ を省いて $3 x$ と書き、数を文字の前に書きます。 $1 \times x$ は $x$ 、 $(- 1) \times x$ は $- x$ と書きます。 $x \times x$ は $x^{2}$ です。 $3 x$ や $- 2 x y$ のように数と文字のかけ算だけでできた式を単項式、 $3 x - 2 y + 5$ のように単項式の和で表された式を多項式といい、その 1 つ 1 つ（ $3 x$ 、 $- 2 y$ 、 $5$ ）を項、項の数の部分（ $3 x$ の $3$ ）を係数といいます。

同類項をまとめる $3 x + 5 x$ は、 $x$ にどんな数を入れても $3$ 個分と $5$ 個分で $8$ 個分なので、分配法則 $3 \times x + 5 \times x = (3 + 5) \times x$ から $8 x$ です。このように文字の部分がまったく同じ項（同類項）は、係数どうしを計算してまとめられます。 $3 x$ と $5 y$ や、 $x$ と $x^{2}$ は文字の部分がちがうので、まとめられません。

かっこをはずす 分配法則 $□ \times (△ + ◯) = □ \times △ + □ \times ◯$ は、文字が入っていても成り立ちます。だから $5 (x - y) = 5 x - 5 y$ です。 $- (3 x + y)$ は $(- 1) \times (3 x + y)$ なので、かっこの中のすべての項の符号が変わって $- 3 x - y$ になります。分数の形の式は、分数のたし算・ひき算と同じようにまず通分し、分子にかっこをつけたまま 1 つの分数にまとめてから、分配法則でかっこをはずします。

単項式のかけ算・わり算 単項式はかけ算だけでできているので、係数どうし・文字どうしに分けてかけられます。たとえば $3 a \times (- 2 ab) = 3 \times (- 2) \times a \times a \times b = - 6 a^{2} b$ です。わり算は、分数の形にするか逆数をかけて、数の約分と同じように同じ文字を約分します（わる式は $0$ でないものとします）。たとえば
$6 a^{2} b \div 3 a = \frac{6 \times a \times a \times b}{3 \times a} = 2 ab$
です。

手順

分数の形の式は、分母の最小公倍数で通分し、分子にかっこをつけたまま 1 つの分数にまとめる（分数の形でなければこの手順はとばす）
かっこの前の数（符号もふくめて）を、かっこの中のすべての項にかけてかっこをはずす（分配法則）。 $- (\dots)$ はすべての項の符号を変える
文字の部分が同じ項（同類項）を集めて、係数どうしをたしたりひいたりする。数だけの項は数だけでまとめる
単項式のかけ算は、係数どうし・文字どうしをかける。わり算は分数の形にするか逆数をかけ、係数と文字をそれぞれ約分する

例題

$\frac{3 x - y}{4} - \frac{x - 2 y}{6}$ を計算せよ。

例題の解答

【手順 1】分母 4 と 6 の最小公倍数 12 で通分します。分子にはかっこをつけたままにして、1 つの分数にまとめます。
$\frac{3 ( 3 x - y )}{12} - \frac{2 ( x - 2 y )}{12} = \frac{3 ( 3 x - y ) - 2 ( x - 2 y )}{12}$

【手順 2】分子のかっこを分配法則ではずします。 $3 (3 x - y) = 9 x - 3 y$ 、 $- 2 (x - 2 y) = - 2 x + 4 y$ なので
$\frac{9 x - 3 y - 2 x + 4 y}{12}$

【手順 3】同類項をまとめます。 $9 x - 2 x = 7 x$ 、 $- 3 y + 4 y = y$ なので
$\frac{7 x + y}{12}$
分子の $7 x$ と $y$ は同類項ではないのでこれ以上まとめられず、12 とも約分できません。

答え: $\frac{7 x + y}{12}$

よくある誤り

$- (3 x + y)$ のかっこをはずすとき、最初の項だけ符号を変えて $- 3 x + y$ としてしまう誤り。正しくは、すべての項に $- 1$ をかけるので $- 3 x - y$
通分したあと分子のかっこを忘れて、 $\frac{9 x - 3 y}{12} - \frac{2 x - 4 y}{12}$ を $\frac{9 x - 3 y - 2 x - 4 y}{12}$ としてしまう誤り。正しくは、 $- (2 x - 4 y) = - 2 x + 4 y$ なので $\frac{9 x - 3 y - 2 x + 4 y}{12} = \frac{7 x + y}{12}$
文字の部分がちがう項までまとめて、 $3 x + 2 y = 5 x y$ や $x^{2} + x = x^{3}$ としてしまう誤り。正しくは、同類項ではないのでこれ以上まとめられず、 $3 x + 2 y$ 、 $x^{2} + x$ のまま
分数の式で、方程式のように分母をはらって $\frac{3 x - y}{4} - \frac{x - 2 y}{6}$ を $3 (3 x - y) - 2 (x - 2 y) = 7 x + y$ としてしまう誤り。正しくは、式の計算では分母を消せないので $\frac{7 x + y}{12}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算をしなさい。
$3 (2 a - b) - (4 a - 5 b)$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）