等差・等比数列の和と Σ

$n$ を正の整数とするとき、和 $$\sum _{k=1}^n\left(6k^2+2k\right)$$ を計算し、$n$ の式で表せ。答えは因数分解した形で書け。

$n$ を正の整数とする。次の和を $n$ の式で表せ。答えはできるだけ因数分解した形で書け。$$\sum _{k=1}^n\left(3k^2-k\right)$$

$n$ を正の整数とする。和 $$\sum _{k=1}^n(3k^2-k)$$ を $n$ の式で表せ。答えは因数分解した形で答えよ。

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{2n^3+5}$$

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{n^3+5n}$$

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{2n^3+1}$$

次の無限等比級数は収束する。その和を求めよ。$$6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots$$

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。$$9-6+4-\frac{8}{3}+\cdots$$

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。$$6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots$$

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。次に、$1$ から $Y$ までの整数が 1 つずつ書かれた $Y$ 枚のカードから 1 枚を無作為に取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。続いて、$1$ から $Y$ までの $Y$ 個の整数の中から 1 つを等しい確率で選び、選んだ整数を $X$ とする。たとえば $Y=3$ のときは、$1,2,3$ のどれかがそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれる。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $Y$ は値 $1,2,3$ をとり、その確率は
$$P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{3},P(Y=3)=\frac{1}{6}$$
である。$Y=y$ $(y=1,2,3)$ が与えられたとき、確率変数 $X$ の条件付き分布は、$1$ から $2y$ までの整数 $1,2,\dots ,2y$ のそれぞれを確率 $\frac{1}{2y}$ でとる分布である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

ある工場の機械は、毎朝「稼働」か「故障」のどちらかの状態にある。翌朝の状態は、その日の朝の状態だけで次のように確率的に決まるものとする。

• その日の朝に稼働していれば、翌朝も稼働している確率は $\frac{3}{4}$、故障している確率は $\frac{1}{4}$ である。
• その日の朝に故障していれば、その日のうちに修理が行われ、翌朝に稼働している確率は $\frac{1}{2}$、故障したままである確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を（稼働, 故障）の順に並べた推移確率行列は
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
である（第 $i$ 行第 $j$ 列が、状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。

$0$ 日目の朝、機械は故障していた。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日目の朝に機械が稼働している確率 $p_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $(0,1]$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。関数 $f:(0,1]\to \mathbb{R}$ を、正の整数 $n$ に対して
$$f(x)=n\left(2^{-n}<x\le 2^{-n+1}\right)$$
で定める。ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1]}fd\lambda$$
の値を求めよ。

区間 $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\lfloor x\rfloor }& (x\text{が無理数のとき})\\ 1& (x\text{が有理数のとき})\end{array}$$
で定める。ルベーグ積分 $${\int }_{[0,\infty )}fd\lambda$$ の値を求めよ。

正の整数全体の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（この測度に関する $L^p$ ノルムは $\Vert a{\Vert }_p={\left({\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n{|}^p\right)}^{1/p}$ である）。実数列 $a=(a_n{)}_{n\ge 1}$ で
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^4=1$$
を満たすもの全体を考える。このとき級数
$$S(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{8^n}$$
は絶対収束する。$S(a)$ の最大値を求めよ。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

正の偶数を小さい順に並べ、第 $n$ 群が $2n-1$ 個の項を含むように次のように群に分ける。
$$2\mid 4,6,8\mid 10,12,14,16,18\mid 20,\dots$$
ただし $n$ は正の整数とする。$2000$ を含む群に属するすべての数の和を求めよ。

等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_5=35$, $S_{10}=120$ である。

また、等比数列 $\{b_n\}$ の公比は正の実数であり、$b_1=a_1$, $b_3=a_{13}$ を満たす。

$n$ を正の整数とするとき、和 $\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)$ を $n$ の式で表せ。

次のように、分母が $2,3,4,\dots$ の分数を順に並べた数列を考える。分母が $k$ $(k=2,3,4,\dots )$ の分数としては、分子が $1,2,\dots ,k-1$ のものをこの順に並べる。ただし、分数は約分せずに並べる。
$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\dots$$
この数列の初項から第 $100$ 項までの和を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$1,2,5,12,27,\dots$$
で始まる。$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）とし、さらに $\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$（$c_n=b_{n+1}-b_n$）とする。$\{c_n\}$ が等比数列であるとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。ただし $n$ は正の整数とする。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。初項から第 $n$ 項までの和 $\sum _{k=1}^n{a}_k$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{n+1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。和 $\sum _{k=1}^{30}{a}_k$ の値を求めよ。

公比が実数である等比数列 $\{a_n\}$ が
$$a_1+a_2+a_3=7,a_4+a_5+a_6=56$$
を満たしている。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n\geqq 2000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

$1000$ 以下の正の整数 $n$ で、次の 3 つの合同式をすべてみたすものを考える。
$$n\equiv 3(\mathrm{mod}4),2n\equiv 5(\mathrm{mod}7),3n\equiv 2(\mathrm{mod}11)$$
このような $n$ すべての和を求めよ。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。
$$T=\sum _{d\mid 720}\tau (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $720$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})\in {\mathbb{C}}^N$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_{N-1})$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき、パーセバルの等式
$$\sum _{k=0}^{N-1}|X_k{|}^2=N\sum _{n=0}^{N-1}|x_n{|}^2$$
が成り立つ。$x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定まるベクトル $x$ の離散フーリエ変換を計算し、パーセバルの等式を用いて、和
$$S_N=\sum _{k=1}^{N-1}\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi k}{N}}$$
を $N$ の式で表せ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の 3 つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、0 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき
$$T(1)=1,T(n)=3T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\ge 2)$$
を満たすとする。0 以上の整数 $k$ に対して、$T(2^k)$ を $k$ の式で表せ。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。$\mathbb{N}$ 上の関数を次の原始再帰で順に定める。

$(1)$ 符号関数 $\mathrm{sg}$：$\mathrm{sg}(0)=0,\mathrm{sg}(n+1)=1$

$(2)$ 打ち切り差 $x\dot{-}y$：$x\dot{-}0=x,x\dot{-}(y+1)=\mathrm{pd}(x\dot{-}y)$。ただし $\mathrm{pd}(0)=0,\mathrm{pd}(n+1)=n$ とする。

$(3)$ 関数 $r$：$r(0)=0,r(n+1)=(r(n)+1)\cdot \mathrm{sg}(2\dot{-}r(n))$

$(4)$ 関数 $f$：$f(0)=0,f(n+1)=f(n)+(n+1)\cdot \mathrm{sg}(r(n+1))$

このとき $f(30)$ の値を求めよ。

$\Sigma =\{0,1\}$ とし、${\Sigma }^{\ast }$ を空列を含む $\Sigma$ 上の有限列全体、$|p|$ を列 $p$ の長さ、${\Sigma }^n$ を長さ $n$ の列全体とする。部分計算可能関数 $V:{\Sigma }^{\ast }\rightharpoonup {\Sigma }^{\ast }$ に対して、$x\in {\Sigma }^{\ast }$ の $V$ に関する記述複雑性を
$$C_V(x)=\min \{|p|:p\in {\Sigma }^{\ast },V(p)\text{ が定義されて }V(p)=x\}$$
で定める（そのような $p$ がなければ $C_V(x)=\infty$ とする）。

部分計算可能関数 $V$ を一つ定めるごとに、集合
$$R_V=\{x\in {\Sigma }^{10}:C_V(x)\ge 7\}$$
の要素の個数 $|R_V|$ が決まる。$V$ がすべての部分計算可能関数を動くときの $|R_V|$ の最小値を求めよ。

相異なる $9$ 個の実数を格納した配列 $A[1],A[2],\dots ,A[9]$ がある。$A$ の要素のうち、小さい方から数えた順位が $3$ 以上 $7$ 以下であるものを「良い要素」とよぶ。良い要素を $1$ つ見つけるために、次の乱択アルゴリズムを使う。

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数 $i$ を等確率 $\frac{1}{9}$ で選ぶ。
• $A[i]$ を、それ以外の $8$ 個の要素 $A[j](j\ne i)$ のそれぞれと $1$ 回ずつ比較して、$A[i]$ より小さい要素の個数を数え、$A[i]$ の順位を求める。
• $A[i]$ が良い要素であればアルゴリズムを終了し、そうでなければ最初に戻って $i$ を選び直し、同じことをくり返す。

ここで、各回の $i$ の選び方は互いに独立であり、以前に選んだ位置が再び選ばれることもある。また、各回の比較はその回ごとに改めて $8$ 回行う（以前の比較結果は使わない）。アルゴリズムが終了するまでに行う要素どうしの比較の回数の期待値を求めよ。

年利率 $10\%$（$1$ 年ごとの複利）が一定である口座に、毎年同じ金額 $X$ 万円を、第 $1$ 年初め（時刻 $0$）、第 $2$ 年初め（時刻 $1$）、第 $3$ 年初め（時刻 $2$）の計 $3$ 回積み立てる（時刻の単位は年）。途中で引き出しはしないものとする。

第 $3$ 年末（時刻 $3$）における口座の残高（元利合計）がちょうど $728.2$ 万円になるとき、$X$ を求めよ。

額面 $100$ 円、クーポンレート年 $5\%$、残存期間 $n$ 年（$n$ は正の整数）の固定利付債券を考える。クーポンは年 $1$ 回、各年末に $5$ 円支払われ、$n$ 年後の満期日には最後のクーポン $5$ 円と額面 $100$ 円が支払われる。この債券の最終利回りは年 $5\%$（$1$ 年ごとの複利）である。

この債券のマコーレー・デュレーション（各キャッシュフローの支払時点〔年〕を、その現在価値の価格に対する割合で重み付けした平均）$D_n$ を、$n$ の式で表せ。

次の $5$ 個のデータ $(t_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が与えられている。
$$(t_i,y_i)=(-2,6),(-1,1),(0,0),(1,2),(2,7)$$
このデータに $2$ 次関数のモデル $y=a+bt+c{t}^2$ （$a,b,c$ は実数）を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{t}_i-c{t}_i^2\right)}^2$$
を最小にする $a,b,c$ を最小二乗法で求めたとき、$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

$\Sigma =\{0,1\}$ とし、${\Sigma }^{\ast }$ を空列 $\epsilon$ を含む $\Sigma$ 上の有限列全体、$|p|$ を列 $p$ の長さ、${\Sigma }^n$ を長さ $n$ の列全体とする。部分計算可能関数 $U:{\Sigma }^{\ast }\rightharpoonup {\Sigma }^{\ast }$ に対し、$x\in {\Sigma }^{\ast }$ の $U$ に関する（プレーンな）記述複雑性を
$$C_U(x)=\min \{|p|:p\in {\Sigma }^{\ast },U(p)=x\}$$
で定める。ただし $U(p)=x$ となる $p$ が存在しないときは $C_U(x)=\infty$ とする。$U$ の定義域が接頭語自由であることは仮定しない。

すべての部分計算可能関数 $U$ を考えたときの
$$S(U)=\sum _{x\in {\Sigma }^{10}}{C}_U(x)$$
の最小値を求めよ。

$n$ を正の整数とする。和 $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_1=3$ を満たし、公差は $0$ でない。また、$a_1,a_3,a_9$ はこの順に等比数列をなす。さらに、初項が $a_1$、第 $2$ 項が $a_3$ である等比数列を $\{b_n\}$ とする。$n$ を正の整数とするとき、和
$$T_n=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$
を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は、次のように群に分けたとき、第 $m$ 群 $(m=1,2,3,\dots )$ が $1$ から $2m-1$ までの奇数を小さい順に並べた $m$ 個の項からなるものとする。
$$1\mid 1,3\mid 1,3,5\mid 1,3,5,7\mid 1,\dots$$
このとき、和 $\sum _{k=1}^{100}{a}_k$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=2,a_2=3,a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2^n(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=a_n+2^n-4n(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。$a_n$ $(n=1,2,3,\dots )$ の最小値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4n+2(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。$n$ を正の整数とするとき、初項から第 $n$ 項までの和 $\sum _{k=1}^n{a}_k$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_3=7$, $a_7=19$ を満たす。また、等比数列 $\{b_n\}$ は公比が正の実数であり、$b_1=2$, $b_2+b_3=12$ を満たす。$n$ を正の整数とするとき、和
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$
を $n$ の式で表せ。

公比が $1$ より大きい実数である等比数列 $\{b_n\}$ が
$$b_2=6,b_1+b_2+b_3=26$$
を満たしている。また、等差数列 $\{a_n\}$ は $a_1=b_1$, $a_5=b_3$ を満たしている。$n$ を正の整数とするとき、和
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$
を $n$ の式で表せ。

数列を、第 $n$ 群 $(n=1,2,3,\dots )$ が $n$ 個の項 $n,2n,3n,\dots ,n\cdot n$ からなるように、次のように群に分けて並べる。
$$1\mid 2,4\mid 3,6,9\mid 4,8,12,16\mid 5,\dots$$
この数列の初項から第 $100$ 項までの和を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は $a_1=3$, $a_2=4$ を満たす。数列 $\{b_n\}$ を $b_n=a_{n+1}-a_n$ $(n=1,2,3,\dots )$ で定める（$\{a_n\}$ の階差数列）。数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{b_{n+1}-b_n\}$ は、初項 $2$、公比 $2$ の等比数列である。このとき、$n$ を正の整数として、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

連立合同式
$$x\equiv 5(\mathrm{mod}12),x\equiv 11(\mathrm{mod}18),x\equiv 13(\mathrm{mod}20)$$
を満たす正の整数 $x$ のうち、$1000$ 以下のものすべての和を求めよ。

正の整数 $n$ に対し $\phi (n)$ をオイラー関数とし、実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ を $t$ 以下の最大の整数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{2024}\phi (n)\lfloor \frac{2024}{n}\rfloor$$
の値を求めよ。

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\epsilon }_k=1)=P({\epsilon }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、
$$Z=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\epsilon }_k}{3^k}$$
とおく（この級数は各標本点で絶対収束する）。$Z$ の特性関数 ${\phi }_Z(t)=E\left[e^{itZ}\right]$ を無限積で表し、それを用いて $4$ 次モーメント $E\left[Z^4\right]$ を求めよ。

年利率 $i=0.1$（1 年複利）が永久に一定である市場を考える。次のように支払いが続く永久年金がある。

• $k=1,2,\dots ,10$ について、第 $k$ 年末に $k$ 万円を支払う（第 $1$ 年末に $1$ 万円、第 $2$ 年末に $2$ 万円、$\dots$、第 $10$ 年末に $10$ 万円）。
• 第 $11$ 年末以降は、毎年末に $10$ 万円ずつ永久に支払う。

この永久年金の現在（時刻 $0$）における現価を万円単位で求めよ。答えは累乗を含む形のままでよい。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $4$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n^2+n$ の手間をかける。入力の大きさは $2$ のべき $n=2^k$（$k$ は $0$ 以上の整数）に限って考え、その計算時間 $T(n)$ は
$$T(1)=1,T(n)=4T\left(\frac{n}{2}\right)+n^2+n(n=2^k,k\text{ は正の整数})$$
をみたすとする。$0$ 以上の整数 $k$ に対して、$T(2^k)$ を $k$ の式で表せ。

$\Sigma =\{0,1\}$ とし、${\Sigma }^{\ast }$ を空列 $\epsilon$ を含む $\Sigma$ 上の有限列全体、$|p|$ を列 $p$ の長さ、${\Sigma }^n$ を長さ $n$ の列全体とする。部分計算可能関数 $V:{\Sigma }^{\ast }\rightharpoonup {\Sigma }^{\ast }$（定義域が ${\Sigma }^{\ast }$ の部分集合である計算可能な部分関数。定義域が接頭語自由である必要はない）に対し、$x\in {\Sigma }^{\ast }$ の $V$ に関する記述量を
$$C_V(x)=\min \{|p|\mid p\in {\Sigma }^{\ast },V(p)\text{ が定義されて }V(p)=x\}$$
で定める（そのような $p$ がなければ $C_V(x)=\infty$）。

$n$ を正の整数とする。$V$ が部分計算可能関数全体を動くとき、
$$S_V(n)=\sum _{x\in {\Sigma }^n}{C}_V(x)$$
の最小値を $n$ の式で表せ。

2 つの因果的な離散時間の線形時不変系 S${}_1$, S${}_2$ を、この順に縦続接続する（S${}_1$ の出力を S${}_2$ の入力とする）。$n$ は整数とする。

• S${}_1$ のインパルス応答は $h_1[n]={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n}u[n]$
• S${}_2$ の入力 $w[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は $y[n]=w[n]-w[n-2]$

ここで $u[n]$ は単位ステップ系列（$n\ge 0$ で $1$、$n<0$ で $0$）である。全体の系に入力 $x[n]=u[n]$ を加えたときの出力 $y[n]$ について、エネルギー
$$\sum _{n=0}^{\infty }y[n{]}^2$$
を求めよ。ただし、初期状態は $0$ とする。

$p$ を素数とし、${\mathbb{Z}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を $p$ を法とする剰余類全体とする。整数 $a,b$ は $a\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ かつ $a\not\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ をみたすとし、アフィン暗号の暗号化写像 $f:{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$ を
$$f(x)=ax+b(\mathrm{mod}p)$$
で定める。正の整数 $r$ に対して、$f$ を $r$ 回合成した写像を $f^{(r)}=\underset{r\text{個}}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}$ と書く。

正の整数 $r$ について、「すべての $x\in {\mathbb{Z}}_p$ に対して $f^{(r)}(x)=x$ が成り立つ（すなわち、同じ鍵で $r$ 回暗号化すると必ず平文に戻る）」ための必要十分条件は $a^r\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ であること（とくにこの条件は $b$ によらないこと）を証明せよ。

ただし、$p$ が素数で $c\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ ならば、$cy\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ をみたす整数 $y$ は $y\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ に限ることは用いてよい。

客が到着率 $\lambda >0$ のポアソン過程に従って到着する、待合室の容量に制限のない次の 2 つの待ち行列システムを考える。$\mu >0$ とし、$\lambda <2\mu$ とする。

• システム A: 窓口が 1 つで、サービス時間は平均 $\frac{1}{2\mu }$ の指数分布に従う（M/M/1）。
• システム B: 窓口が 2 つで、各窓口のサービス時間は平均 $\frac{1}{\mu }$ の指数分布に従う（M/M/2）。客は空いている窓口があればすぐにサービスを受け、なければ 1 列に並んで先着順に待つ。

どちらのシステムでも、サービス時間は互いに独立で到着とも独立とする。系内人数（待っている客とサービス中の客の合計）の定常分布を $\{p_n{\}}_{n\ge 0}$ とすると、系内人数が $n$ 人のときのサービス終了率を ${\mu }_n$ として、定常分布はつり合いの式
$$\lambda p_n={\mu }_{n+1}{p}_{n+1}(n=0,1,2,\dots ),\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n=1$$
のただ 1 つの解であることを用いてよい（${\mu }_n$ は各システムの設定から定まる）。

定常状態における平均系内人数を、システム A について $L_A$、システム B について $L_B$ とするとき、$L_A<L_B$ であることを証明せよ。

正の整数 $\omega$ と、$0$ 以上の整数 $y$ に対して定まる生存数 $l_y$ をもつ生命表を考える。$l_y$ は $0\le y\le \omega -1$ で正、$y\ge \omega$ で $l_y=0$ であり、$l_0\ge l_1\ge \cdots \ge l_{\omega }$ を満たすとする。死亡数を $d_y=l_y-l_{y+1}$ と定める。予定利率を $i>0$ とし、$v=\frac{1}{1+i}$、$d=1-v$ とおく。

$0$ 以上の整数 $x$ と正の整数 $n$ を $x+n\le \omega$ を満たすようにとる。$x$ 歳の人が加入する保険期間 $n$ 年の養老保険（期間内に死亡すればその年度末に $1$ を支払い、$n$ 年後に生存していれば満期に $1$ を支払う）の一時払純保険料と、期始払い・期間 $n$ 年の生命年金（各年度の始めに生存していれば $1$ を支払う）の現価を、それぞれ
$$A=\frac{1}{l_x}\left(\sum _{k=0}^{n-1}{v}^{k+1}{d}_{x+k}+v^n{l}_{x+n}\right),\ddot{a}=\frac{1}{l_x}\sum _{k=0}^{n-1}{v}^k{l}_{x+k}$$
で定める。このとき
$$A=1-d\ddot{a}$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を正の整数とし、$\mathbb{C}{P}^n$ を $n$ 次元複素射影空間とする。連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^n\to \mathbb{C}{P}^n$ が不動点をもたないならば、$n$ は奇数であり、かつ $H^2(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})$ の生成元 $a$ に対して $f^{\ast }(a)=-a$ が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 整係数コホモロジー環は $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[a]/(a^{n+1})$（$a\in H^2$）であり、$0\le k\le n$ に対して $H^{2k}(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})$ は $a^k$ で生成される無限巡回群、それ以外の次数のコホモロジーは $0$ である。連続写像が誘導する $f^{\ast }$ はカップ積を保つ次数付き環準同型で、単位元 $1\in H^0$ を $1$ に送る。

(ii) レフシェッツの不動点定理: $X$ がコンパクトな三角形分割可能空間で、すべての $k$ について $H^k(X;\mathbb{Z})$ が有限階数の自由加群であるとき、連続写像 $f:X\to X$ のレフシェッツ数を
$$L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f^{\ast }:H^k(X;\mathbb{Z})\to H^k(X;\mathbb{Z}))$$
で定めると、$L(f)\ne 0$ ならば $f$ は不動点をもつ。$\mathbb{C}{P}^n$ はコンパクトな三角形分割可能空間である。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数とし、
$${\int }_0^{2\pi }f(t)dt=0$$
を満たすとする。整数 $n$ に対して $f$ のフーリエ係数を $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$ で定める。

このとき、すべての実数 $x$ に対して
$$|f(x){|}^2\le \frac{\pi }{6}{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 周期 $2\pi$ の連続関数 $g$ とそのフーリエ係数 $d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }g(t)e^{-int}dt$ について、パーセバルの等式 $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|g(t){|}^{2}dt=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|d_n{|}^2$ が成り立つ。
- 周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数 $f$ について、すべての実数 $x$ で $f(x)=\underset{M\to \infty }{\lim }\sum _{n=-M}^M{c}_n{e}^{inx}$ が成り立つ。
- $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

正の整数 $n$ の分割とは、和が $n$ になる正の整数の非増加列のことであり、各項を部分という。分割の中に正の整数 $k$ が部分として現れる回数を $k$ の重複度という（現れなければ重複度は $0$）。また $0$ の分割は空列ただ 1 つとする。正の整数 $n$ に対し

• $A(n)$: $n$ の分割のうち、どの正の整数 $k$ についても $k$ の重複度が $3$ を法として $1$ に合同でないもの（すなわち各重複度が $0,2,3,5,6,8,9,\dots$ のいずれかであるもの）の個数
• $B(n)$: 非負整数 $a,b$ と、$a$ の分割 $\mu$、$b$ の分割 $\nu$ の組 $(\mu ,\nu )$ であって、$a+b=n$、$\mu$ のどの部分も $4$ を法として $2$ に合同、$\nu$ のどの部分も $3$ の倍数であるものの個数

とする。すべての正の整数 $n$ に対して $A(n)=B(n)$ が成り立つことを、母関数を用いて証明せよ。

ただし、母関数は有理数係数の形式的冪級数環 $\mathbb{Q}[[x]]$ で考え、次の事実は用いてよい: 形式的冪級数の列 $a_1,a_2,\dots$ で $a_k$ の位数（$0$ でない最低次の次数）が $k\to \infty$ で $\infty$ に発散するものについて、無限積 ${\prod }_{k\ge 1}(1+a_k)$ は収束し、その $x^N$ までの係数は有限個の因子の積で決まること、また収束する無限積どうしの積・商（定数項が $1$ のもの）は因子ごとにとってよく、因子の並べ替えや分け方を変えても値は変わらないこと。

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ を
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}{\left(x^2-1\right)}^n$$
で定める（$n=0$ のときは $P_0(x)=1$ である）。$P_n^{\prime }(x)$ は $P_n(x)$ の $x$ についての導関数を表す。このとき、すべての $0$ 以上の整数 $n$ に対して
$${\int }_{-1}^1(P_n^{\prime }(x){)}^{2}dx=n(n+1)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- $P_n$ は次数がちょうど $n$ の実係数多項式である。
- $P_n(1)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して $P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$ である。
- $0$ 以上の整数 $m,n$ に対して ${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$ である（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。

$\Sigma =\{0,1\}$ とし、${\Sigma }^{\ast }$ を空列 $\epsilon$ を含む有限 2 進列全体、$|x|$ を列 $x$ の長さ、${\Sigma }^n$ を長さ $n$ の列全体とする。万能チューリング機械 $U$ を 1 つ固定し、$U$ が計算する部分関数 $U:{\Sigma }^{\ast }\rightharpoonup {\Sigma }^{\ast }$ は、任意の $x\in {\Sigma }^{\ast }$ に対して $U(p)=x$ となる $p\in {\Sigma }^{\ast }$ が存在するものとする。$x\in {\Sigma }^{\ast }$ のコルモゴロフ複雑性を
$$C(x)=\min \{|p|:p\in {\Sigma }^{\ast },U(p)=x\}$$
で定める（$U(p)=x$ は、入力 $p$ で $U$ が停止して $x$ を出力することを表す）。

任意の正の整数 $n$ に対して
$$\frac{1}{2^n}\sum _{x\in {\Sigma }^n}C(x)>n-2$$
が成り立つことを証明せよ。

数列 $\{a_n\}$ を、次のように群に分ける。
$$\frac{1}{2}|\frac{1}{4},\frac{3}{4}|\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8}|\frac{1}{16},\frac{3}{16},\dots$$
ここで、第 $m$ 群 $(m=1,2,3,\dots )$ は、分母が $2^m$ で分子が $2^m$ より小さい正の奇数である分数を、分子の小さい順に並べた $2^{m-1}$ 個の項からなる。

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n>1000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1\leqq i<j\leqq n$ を満たす整数の組 $(i,j)$ すべてについて $(j-i)\cdot 2^i$ を足し合わせた和
$$S=\sum _{j=2}^n\sum _{i=1}^{j-1}(j-i)\cdot 2^i$$
を $n$ の式で表せ。

すべての項が正の実数である数列 $\{a_n\}$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{k=1}^n{a}_k^3=2{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2$$
を満たしている。このとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$n$ を $2$ 以上の整数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=[x^2]-[x{]}^2$$
を考える。開区間 $0<x<n$ において $f(x)$ が連続でない点の個数を $n$ の式で表せ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$m$ を正の整数とし、$n=2^m$ とおく。このとき、和
$$S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=1}^{n-1}\left[\frac{ij}{n}\right]$$
を $m$ の式で表せ。