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数列の問題

難易度 5最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル数学B 数列

2 つの数列 ${a_{k}}$ , ${b_{k}}$ を
$a_{k} = 5 k + 3, b_{k} = 2^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定めます。数列 ${a_{k}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項でもある数を小さい順に並べた数列を ${c_{n}}$ とします。

$n$ を正の整数とします。数列 ${a_{k}}$ の項のうち、 $c_{n}$ 以下であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項ではないものすべての和を $T_{n}$ とします。 $T_{n}$ を $n$ の式で表しなさい。

この問題で使うもの

2 つの数列の共通項（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず、 $2^{m}$ が ${a_{k}}$ の項になる条件を、 $5$ で割った余りを使って調べます。共通項 $c_{n}$ を求めたら、 $T_{n}$ は「 $c_{n}$ 以下の ${a_{k}}$ の項の和」から「共通項の和」を引いたものです。

ヒント 2

$2^{m + 4} - 2^{m} = 15 \cdot 2^{m}$ なので、 $2^{m}$ を $5$ で割った余りは周期 $4$ で繰り返します。その結果 $c_{n} = 2^{4 n - 1}$ となります。 $x = c_{n}$ とおくと、 $a_{k} ≦ x$ となるのは $k ≦ \frac{x - 3}{5}$ のときです。

ヒント 3

$c_{n}$ 以下の ${a_{k}}$ の項の和は $\frac{( x - 3 ) ( x + 8 )}{10}$ です。共通項 $c_{1}, \dots, c_{n}$ の和は $\frac{8 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{15}$ です。 $1 6^{n} = 2 x$ を使って $x$ の式にまとめ、最後に $x = \frac{1 6 ^{n}}{2}$ を代入します。

答えと解説

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\frac{3 \cdot 25 6 ^{n} - 34 \cdot 1 6 ^{n} - 224}{120}

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解説を読む

1. 共通項 $c_{n}$ を求める

${a_{k}}$ の項は、 $8$ 以上で $5$ で割った余りが $3$ である整数全体です。

したがって $2^{m}$ $(m ≧ 1)$ が ${a_{k}}$ の項であるための条件は、次の 2 つが成り立つことです。
- $2^{m} ≧ 8$
- $2^{m}$ を $5$ で割った余りが $3$

$2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}$ を $5$ で割った余りは、順に $2, 4, 3, 1$ です。

また $2^{m + 4} - 2^{m} = 15 \cdot 2^{m}$ は $5$ の倍数なので、 $2^{m + 4}$ と $2^{m}$ を $5$ で割った余りは等しくなります。よって余りは $2, 4, 3, 1$ を周期 $4$ で繰り返し、余りが $3$ になるのは $m \equiv 3 (mod 4)$ のときだけです。

$m = 3$ のとき $2^{3} = 8$ なので、このような $m$ では $2^{m} ≧ 8$ も満たされます。以上より
$c_{n} = 2^{4 n - 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$
です。これは初項 $8$ 、公比 $16$ の等比数列です。

2. $c_{n}$ 以下の ${a_{k}}$ の項の和を求める

$x = 2^{4 n - 1}$ とおきます。 $x$ を $5$ で割った余りは $3$ なので、 $K = \frac{x - 3}{5}$ は正の整数です。

$a_{k} ≦ x ⟺ 5 k + 3 ≦ x ⟺ k ≦ K$ なので、 $c_{n}$ 以下の ${a_{k}}$ の項は $a_{1}, \dots, a_{K}$ です。その和は
$k = 1 \sum K a_{k} = \frac{K ( a _{1} + a _{K} )}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x - 3}{5} (8 + x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 8 )}{10}$
です。

3. 取り除く項を確認する

この中で ${b_{k}}$ の項であるものは、 $1$ より共通項 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ のちょうど $n$ 個です。その和は
$j = 1 \sum n c_{j} = \frac{8 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{16 - 1} = \frac{8 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{15}$
です。 $1 6^{n} = 2 x$ を用いると、これは $\frac{16 x - 8}{15}$ と書けます。

4. $T_{n}$ を計算する

$T_{n} = \frac{( x - 3 ) ( x + 8 )}{10} - \frac{16 x - 8}{15} = \frac{3 ( x ^{2} + 5 x - 24 ) - 2 ( 16 x - 8 )}{30} = \frac{3 x ^{2} - 17 x - 56}{30}$

ここで $x = \frac{1 6 ^{n}}{2}$ 、 $x^{2} = \frac{25 6 ^{n}}{4}$ を代入します。
$T_{n} = \frac{1}{30} (\frac{3 \cdot 25 6 ^{n}}{4} - \frac{17 \cdot 1 6 ^{n}}{2} - 56) = \frac{3 \cdot 25 6 ^{n} - 34 \cdot 1 6 ^{n} - 224}{120}$

5. 検算

$n = 1$ のとき、 $8$ 以下の ${a_{k}}$ の項は $8$ だけで、これは ${b_{k}}$ の項です。よって $T_{1} = 0$ です。式に代入すると $\frac{768 - 544 - 224}{120} = 0$ となり一致します。
$n = 2$ のとき、 $K = 25$ です。 $\frac{25 ( 8 + 128 )}{2} - (8 + 128) = 1700 - 136 = 1564$ となります。式に代入すると $\frac{196608 - 8704 - 224}{120} = 1564$ となり一致します。

答え
$T_{n} = \frac{3 \cdot 25 6 ^{n} - 34 \cdot 1 6 ^{n} - 224}{120}$

別解

$a_{k} = 5 k + 3$ は、5 で割って 3 余る 8 以上の整数である。 $2^{k} mod 5$ は $k = 1, 2, 3, 4, \dots$ に対して $2, 4, 3, 1, \dots$ と周期 4 で巡る。よって $2^{k}$ が $a_{k}$ の項になるのは $k \equiv 3 (mod 4)$ のときであり、 $c_{n} = 2^{4 n - 1}$ となる（ $c_{1} = 8$ は $a_{1}$ に一致する）。

$c_{n} = 5 K + 3$ とおくと $K = \frac{2 ^{4 n - 1} - 3}{5}$ である。 $a_{1}, \dots, a_{K}$ の和は
$S = \frac{K ( 5 K + 11 )}{2} = \frac{( 2 ^{4 n - 1} - 3 ) ( 2 ^{4 n - 1} + 8 )}{10}$

$x = 2^{4 n - 1} = 1 6^{n} /2$ とおくと $x^{2} = 25 6^{n} /4$ であるから、
$S = \frac{x ^{2} + 5 x - 24}{10} = \frac{25 6 ^{n}}{40} + \frac{1 6 ^{n}}{4} - \frac{12}{5}$

$c_{n}$ 以下の $a_{k}$ のうち $b_{k}$ の項であるものは $c_{1}, \dots, c_{n}$ だけである。その和は
$\sum_{i = 1}^{n} 2^{4 i - 1} = \frac{8 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{15}$

したがって
$T_{n} = S - \frac{8 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{15} = \frac{25 6 ^{n}}{40} - \frac{17 \cdot 1 6 ^{n}}{60} - \frac{28}{15}$

検算：
- $n = 1$ のとき、 $c_{1} = 8$ 以下の $a_{k}$ は 8 だけで、これは $b_{k}$ の項なので $T_{1} = 0$ 。公式でも $6.4 - 4.5333 \dots - 1.8667 \dots = 0$ となり一致する。
- $n = 2$ のとき、 $c_{2} = 128$ 、 $K = 25$ より $S = 1700$ 。これから $8 + 128 = 136$ を引いて $1564$ 。公式でも $1638.4 - 72.5333 \dots - 1.8667 \dots = 1564$ となり一致する。

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