数列の問題

手順 1：$\{a_k\}$ の項であるための条件を合同式で表す

$a_k=7k-3=7(k-1)+4$ なので、$\{a_k\}$ の項は $4,11,18,25,32,\dots$ です。これは「$7$ で割った余りが $4$ で、$4$ 以上の整数」全体です。$b_k=2^k$ は正の整数なので、
$$2^k\text{が}\{a_k\}\text{の項である}⟺2^k\equiv 4(\mathrm{mod}7)\text{かつ}{2}^k\geqq 4$$
となります。

手順 2：$2^k$ を $7$ で割った余りの周期を調べる

$$2^1=2\equiv 2,2^2=4\equiv 4,2^3=8\equiv 1(\mathrm{mod}7)$$
$2^3\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので、$2^{k+3}=2^k\cdot 2^3\equiv 2^k(\mathrm{mod}7)$ となり、余りは $2,4,1$ を周期 $3$ でくり返します。

したがって $2^k\equiv 4(\mathrm{mod}7)$ となるのは $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$、すなわち $k=2,5,8,\dots$ のときです。このとき $2^k\geqq 2^2=4$ なので、$2^k\geqq 4$ も満たされます。

（確認：$2^2=4=a_1$, $2^5=32=7\cdot 5-3=a_5$, $2^8=256=7\cdot 37-3=a_{37}$。）

手順 3：共通項を並べて一般項を求める

共通項は $k=2,5,8,\dots$ に対する $b_k$ で、小さい順に並べると $k=3n-1$ $(n=1,2,3,\dots )$ とおけます。よって
$$c_n=b_{3n-1}=2^{3n-1}$$
これは初項 $4$、公比 $8$ の等比数列 $c_n=4\cdot 8^{n-1}$ と同じです。

答え：$c_n=2^{3n-1}$

$c_n$ は $7k-3$ の形かつ $2^m$ の形の数である。$2^m=7k-3$ となる正の整数 $k$ があることは、$2^m\equiv -3\equiv 4(\mathrm{mod}7)$ と同値である（$2^m\ge 2$ より $k\ge 1$ となる）。

$2^m$ を 7 で割った余りは $m=1,2,3,4,5,6,\dots$ に対して $2,4,1,2,4,1,\dots$ と周期 3 でくり返す。したがって余りが 4 になるのは $m\equiv 2(\mathrm{mod}3)$、すなわち $m=3n-1(n=1,2,3,\dots )$ のときである。

よって共通の項は小さい順に $2^2,2^5,2^8,\dots$ で、$c_n=2^{3n-1}$。

検算：$4=7\cdot 1-3$、$32=7\cdot 5-3$、$256=7\cdot 37-3$ はいずれも $\{a_k\}$ の項である。また $2^1=2,2^3=8,2^4=16$ は $7k-3$ の形ではない（7 で割った余りが 4 でない）。