, , の数字が 1 つずつ書かれた 3 まいのカードがあります。この 3 まいのカードをすべて 1 回ずつ使って横に 1 列にならべ、3 けたの整数をつくります。
3 けたの整数は全部で何通りできますか。
樹形図で数え上げる
樹形図や表を使って、もれや重なりなくすべての場合を書き出し、場合の数を求められる
前提
中学までに習ったことだけで始められます。
説明
「カードを並べて何通りの数ができるか」「何通りの並び方があるか」のように、考えられる場合が全部で何通りあるか（場合の数）を求めます。思いつくままに書き出すと、数えもれや同じものを 2 回数えるまちがいが起きやすいので、樹形図（木の枝のように分かれていく図）や表を使って、決まった順番で整理して書き出します。
なぜそうしてよいのか
場合の数を正しく数えるには、「もれなく（全部ある）」と「重なりなく（同じものを 2 回数えない）」の 2 つが大切です。そのために、決める順番を決めておきます。たとえば 2 けたの数なら、まず十の位を決め、次に一の位を決める、という順番です。
樹形図では、1 番目に決めるものの候補を小さい順にたてに書き、それぞれから枝を分けて、2 番目に決めるものの候補を書きます。こうすると、1 番目がちがうものは別の枝に、1 番目が同じで 2 番目がちがうものは同じ枝の中の別の先に入るので、同じものが 2 回出てくることはありません。また、どの段でも候補を全部書いているので、もれもありません。最後に、いちばん先の枝の数を数えれば、それが場合の数です。
もし、どの枝の先でも分かれ方の数が同じなら、全部を書かなくても「1 番目の候補の数 × 2 番目の候補の数」で数えられます。表は、2 つのことを組み合わせるときに、たてと横に候補を並べてマスを数える方法で、樹形図と同じように使えます。
手順
何を順に決めていくか（1 番目・2 番目…）の順番を決める
1 番目の候補を、小さい順など決まった順に全部書く
それぞれの候補から枝を出し、条件に合う 2 番目の候補を全部書く（3 番目以降も同じようにくり返す）。使えないもの（同じカードを 2 回使う、先頭に 0 がくるなど）は書かない
いちばん先の枝の数を数える（どの枝でも分かれ方の数が同じなら、かけ算で数えてもよい）
例題
0, 1, 2, 3 の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがあります。このうち 2 枚を並べて 2 けたの整数をつくるとき、整数は全部で何通りできますか。
例題の解答
手順 1: まず十の位のカードを決め、次に一の位のカードを決めます。
手順 2: 十の位に 0 がくると 2 けたの整数にならないので、十の位の候補は 1, 2, 3 です。
手順 3: それぞれから枝を出し、残りの 3 枚から一の位を書きます。
十の位が 1 → 一の位は 0, 2, 3（10, 12, 13）
十の位が 2 → 一の位は 0, 1, 3（20, 21, 23）
十の位が 3 → 一の位は 0, 1, 2（30, 31, 32）
手順 4: 枝の先は 個です。（どの枝でも 3 つに分かれるので、 と数えてもよいです。）よって 9 通りです。
答え:
よくある誤り
十の位に 0 を入れて数えてしまう誤り（例: 通り）。01 などは 2 けたの整数ではないので、正しくは十の位は 1, 2, 3 の 3 通りで 通り
同じカードを 2 回使ってしまう誤り（例: 11, 22 なども数えて 通り）。カードは 1 枚ずつなので、一の位は十の位で使ったカード以外の 3 枚から選び、正しくは 9 通り
決める順番を決めずに思いつくまま書き出し、もれたり同じものを 2 回数えたりする誤り。たとえば 12, 21, 13, 31, 10, … と書いていくと 23 や 32 を書き忘れやすい。十の位ごとに枝を分けて、小さい順に書けば 9 通りがもれなく出る
並べる問題（12 と 21 は別）と選ぶだけの問題（1 と 2 の組は 1 通り）を取りちがえる誤り。「2 枚を選ぶ」だけなら、樹形図で同じ組を 2 回数えないように、正しくは並べる場合の数を 2 でわった数（たとえば 1, 2, 3 の 3 枚から 2 枚を選ぶなら 通り）になる
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
A, B, C の 人が、グー・チョキ・パーのどれか つを出して 回じゃんけんをする。 人全員が同じ手を出すか、 人がグー・チョキ・パーをすべて 人ずつ出したときを「あいこ」とする。 人の手の出し方のうち、あいこになる出し方は何通りあるか求めよ。
横一列に並んだ つの区画からなる旗がある。赤・青・黄・緑の 色のうち異なる 色を使って、 つの区画を 色ずつ塗り分ける。ただし、真ん中の区画は赤で塗らないものとする。塗り方は全部で何通りあるか求めよ。なお、左右を入れかえた塗り方は別の塗り方として数える。
円硬貨が 枚、 円硬貨が 枚、 円硬貨が 枚ある。これらの硬貨の一部または全部を使って、おつりが出ないように支払うことのできる金額は何通りあるか求めよ。ただし、 円は含めないものとする。
の数字が つずつ書かれた 枚のカードがある。この中から 枚を選んで横一列に並べ、 けたの整数をつくる。このとき、つくることのできる けたの偶数は何通りあるか求めよ。ただし、 のカードを百の位に置いたものは けたの整数とはみなさない。
の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがある。この 5 枚をすべて使って横一列に並べるとき、次の 2 つの条件をともに満たす並べ方は何通りあるか求めよ。
どの隣り合う 2 枚についても、書かれた数の差が 以上である。
左端のカードの数は、右端のカードの数より小さい。