積の法則と和の法則

ある店のランチでは、主食をパン・ごはん・めんの 3 種類の中から 1 つ選び、さらに飲み物をお茶・ジュース・牛乳・水の 4 種類の中から 1 つ選びます。

主食と飲み物の選び方は、全部で何通りありますか。

図書係の候補として、男子が 4 人、女子が 3 人います。この中から、男子 2 人と女子 1 人の合わせて 3 人を図書係に選びます。選び方は全部で何通りありますか。ただし、選んだ 3 人の間に役割の区別はないものとします。

1 本の細長い旗を、たての線で 4 つの部分に分け、左から順に A, B, C, D とします。となり合う部分は A と B、B と C、C と D だけです。赤、白、青の 3 色を使って、4 つの部分をそれぞれ 1 色でぬります。となり合う部分はちがう色でぬることにし、使わない色があってもかまいません。ぬり方は、全部で何通りありますか。

正方形を、たての線 1 本と横の線 1 本で、同じ大きさの 4 つの小さな正方形に分けます。左上の部分を A、右上の部分を B、右下の部分を C、左下の部分を D とします。A と B、B と C、C と D、D と A はそれぞれ辺で接していて、A と C、B と D は 1 点で接しているだけです。この 4 つの部分を、赤・青・黄の 3 色のうちのどれか 1 色でぬります。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、1 点で接しているだけの部分どうしは同じ色でも異なる色でもよいものとします。同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもよいとき、ぬり方は全部で何通りありますか。

A, B, C の $3$ 人が、グー・チョキ・パーのどれか $1$ つを出して $1$ 回じゃんけんをする。$3$ 人全員が同じ手を出すか、$3$ 人がグー・チョキ・パーをすべて $1$ 人ずつ出したときを「あいこ」とする。$3$ 人の手の出し方のうち、あいこになる出し方は何通りあるか求めよ。

正方形の紙に 2 本の対角線を引いて、4 つの三角形の部分に分けました。正方形の上の辺をふくむ部分を ア、右の辺をふくむ部分を イ、下の辺をふくむ部分を ウ、左の辺をふくむ部分を エ とします。

ア と イ、イ と ウ、ウ と エ、エ と ア は、それぞれ対角線をはさんでとなり合っています。ア と ウ、イ と エ は、正方形の中心の 1 点でだけ接していて、となり合っているとは考えません。

この 4 つの部分を、赤・青・黄の 3 色のうちのどれかでぬります。となり合う部分は必ずちがう色でぬります。また、同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもかまいません。

ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、紙を回したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。

ある公園には、東西にのびるまっすぐな道が 4 本と、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、碁盤の目のように交わっています。となり合う道どうしの間かくは、どれも等しくなっています。

いちばん南の東西の道といちばん西の南北の道が交わる交差点を A、いちばん北の東西の道といちばん東の南北の道が交わる交差点を B とします。また、南から 2 本目の東西の道と、西から 2 本目の南北の道が交わる交差点を P とします。

A から B まで、道にそって最も短い道のりで行きます。このとき、交差点 P を必ず通る行き方は、全部で何通りありますか。

$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。

このとき、できる 3 けたの整数のうち、偶数は全部で何個ありますか。

A 町、B 町、C 町の 3 つの町があります。

• A 町と B 町のあいだには、道が 3 本あります。
• B 町と C 町のあいだには、道が 2 本あります。
• A 町と C 町のあいだには、B 町を通らずに直接つながる道が 2 本あります。

これらのほかに道はなく、道どうしは町以外のところで交わっていません。

A 町を出発して C 町まで行きます。同じ町を 2 回通らないとき、行き方は全部で何通りありますか。

$2$, $4$, $6$, $8$ の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。

できる 3 けたの整数のうち、$500$ より大きいものは全部で何個ありますか。

箱 $\mathrm{A}$ には $1,2,3$ の数字が $1$ つずつ書かれた $3$ 枚のカードが、箱 $\mathrm{B}$ には $2,3,4,5$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入っている。箱 $\mathrm{A}$、箱 $\mathrm{B}$ からそれぞれカードを $1$ 枚ずつ取り出すとき、取り出した $2$ 枚のカードに書かれた数の積が偶数になる確率を求めよ。

横一列に並んだ $3$ つの区画からなる旗がある。赤・青・黄・緑の $4$ 色のうち異なる $3$ 色を使って、$3$ つの区画を $1$ 色ずつ塗り分ける。ただし、真ん中の区画は赤で塗らないものとする。塗り方は全部で何通りあるか求めよ。なお、左右を入れかえた塗り方は別の塗り方として数える。

1 つの長方形を、横に引いた 1 本の線で上下 2 つの部分に分けます。上の部分を E とします。下の部分は、たてに引いた 3 本の線で左から順に A, B, C, D の 4 つの部分に分けます。E は A, B, C, D のどれとも辺で接していて、A と B、B と C、C と D はそれぞれ辺で接しています。それ以外の組（A と C、A と D、B と D）は接していません。

この 5 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色のうちのいくつかを使ってぬり分けます。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもかまいません。ぬり方は全部で何通りありますか。

正方形を、たてと横に 1 本ずつ引いた線で、同じ大きさの 4 つの小さな正方形に分けます。左上の部分を A、右上の部分を B、右下の部分を C、左下の部分を D とします。A と B、B と C、C と D、D と A はそれぞれ辺で接していて、A と C、B と D は 1 つの点でしか接していません。

赤、青、黄、緑の 4 色の中から色を選んで A, B, C, D の 4 つの部分をぬります。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、1 つの点でしか接していない部分どうしは同じ色でも異なる色でもかまいません。使わない色があってもよいものとします。ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、正方形を回転したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。

$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。ただし、$0$ のカードをいちばん左（百の位）に置くことはできません。作ることのできる 3 けたの整数のうち、偶数は全部で何個ありますか。

$0$, $1$, $2$, $3$, $4$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。ただし、$0$ のカードをいちばん左（百の位）に置くことはできません。作ることのできる 3 けたの整数のうち、偶数は全部で何個ありますか。

$1$ から $8$ までの整数が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがあります。この中から 3 枚を同時に選ぶとき、選んだ 3 枚のカードに書かれた数の和が $3$ の倍数になるような選び方は、全部で何通りありますか。ただし、選ぶ順番は考えません。

$100$ 円硬貨が $1$ 枚、$50$ 円硬貨が $2$ 枚、$10$ 円硬貨が $3$ 枚ある。これらの硬貨の一部または全部を使って、おつりが出ないように支払うことのできる金額は何通りあるか求めよ。ただし、$0$ 円は含めないものとする。

1 辺 1 cm の正方形のマスを、横に 5 個、たてに 3 個、すきまなく並べて、横 5 cm、たて 3 cm の長方形の方眼を作りました。この方眼には、横に引かれた線（上下のふちもふくむ）が 4 本、たてに引かれた線（左右のふちもふくむ）が 6 本あります。

この方眼の線だけを辺として使ってかくことのできる長方形のうち、正方形でないものは全部で何個ありますか。ただし、ここでの長方形には、方眼全体の長方形や 1 マスより大きい長方形もふくめ、大きさや位置がちがうものは別のものとして数えます。

平行な 2 本の直線 ア、イ があります。直線 ア の上には異なる 4 個の点が、直線 イ の上には異なる 5 個の点があり、点は全部で 9 個です。

この 9 個の点の中から 3 個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。三角形は全部で何個できますか。ただし、頂点の組が異なる三角形は、別の三角形として数えます。

$0,1,2,3$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードがある。この中から $3$ 枚を選んで横一列に並べ、$3$ けたの整数をつくる。このとき、つくることのできる $3$ けたの偶数は何通りあるか求めよ。ただし、$0$ のカードを百の位に置いたものは $3$ けたの整数とはみなさない。

$1$ 個のさいころと、$2$ 枚の硬貨 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を同時に $1$ 回投げる。さいころの出た目の数を $a$、表が出た硬貨の枚数を $k$ とし、得点を $a\times (k+1)$ 点とする。たとえば、さいころの目が $4$ で、硬貨 $\mathrm{A}$ だけが表のときの得点は $4\times 2=8$ 点である。得点が $8$ 点以上になる確率を求めよ。

$0$, $1$, $2$, $2$, $3$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります（$2$ のカードは 2 枚あります）。この中から 4 枚を選んで横一列に並べ、4 けたの整数を作ります。ただし、いちばん左（千の位）に $0$ のカードを置くことはできません。作ることのできる 4 けたの整数のうち、$4$ の倍数は何個ありますか。

横に 3 個、たてに 2 個、同じ大きさの正方形のマスをすき間なく並べて、横長の長方形を作りました。上の段のマスを左から順に A, B, C、下の段のマスを左から順に D, E, F とします（A の真下が D、B の真下が E、C の真下が F です）。赤、青、黄の 3 色を使って、6 個のマスをそれぞれ 1 色でぬります。辺で接しているマスどうしは、ちがう色でぬることにします。使わない色があってもかまいません。ぬり方は、全部で何通りありますか。

$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。ただし、$0$ のカードをいちばん左（百の位）に置くことはできません。作ることのできる 3 けたの整数のうち、3 の倍数は全部で何個ありますか。

$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードがあります。この中から 4 枚を選んで横一列に並べ、4 けたの整数を作ります。ただし、いちばん左（千の位）に $0$ のカードを置くことはできません。作ることのできる 4 けたの整数のうち、$4$ の倍数は全部で何個ありますか。

1 個のさいころを 3 回続けて投げ、1 回目、2 回目、3 回目に出た目の数をそれぞれ $a,b,c$ とする。次の 3 つの条件をすべて満たす目の出方は何通りあるか求めよ。

$(1)$ $a<b$
$(2)$ $b>c$
$(3)$ $a\ne c$

大きな円の内側に、中心が同じ小さな円をかきました。小さな円の内側の部分を ア とします。2 つの円のあいだのドーナツ形の部分は、大きな円の中心から出る 4 本の線（大きな円と小さな円のあいだだけに引く）で 4 つの部分に分け、時計回りに順に イ、ウ、エ、オ とします。

• ア は、イ、ウ、エ、オ のどれとも、小さな円の線をはさんでとなり合っています。
• イ と ウ、ウ と エ、エ と オ、オ と イ は、それぞれ線をはさんでとなり合っています。
• イ と エ、ウ と オ はとなり合っていません。

この 5 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色を使ってぬります。となり合う部分は必ずちがう色でぬり、4 色はどれも少なくとも 1 回は使います。同じ色を 2 回以上使ってもかまいません。

ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、回したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。

立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ がある。四角形 $\mathrm{ABCD}$ と四角形 $\mathrm{EFGH}$ は向かい合う面であり、辺 $\mathrm{AE},\mathrm{BF},\mathrm{CG},\mathrm{DH}$ はこの立方体の辺である。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。$1$ 個のさいころを $1$ 回投げるごとに、点 $\mathrm{P}$ を次の規則にしたがって、いまいる頂点から辺を $1$ 本たどってとなりの頂点へ移動させる。

• $1$ または $2$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AB}$ に平行な辺をたどって移動する。
• $3$ または $4$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AD}$ に平行な辺をたどって移動する。
• $5$ または $6$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AE}$ に平行な辺をたどって移動する。

（どの頂点にも、辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AD},\mathrm{AE}$ のそれぞれに平行な辺がちょうど $1$ 本ずつつながっているので、移動先はただ $1$ つに決まる。）

さいころを $4$ 回投げたあと、点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ にある確率を求めよ。