場合の数の問題

4 けたの整数が $4$ の倍数になるのは、下 2 けた（十の位と一の位でできる 2 けたの数）が $4$ の倍数になるときです。$100$ は $4$ でわり切れるので、千の位と百の位の数は関係ありません。

下 2 けたの決め方

十の位と一の位には $0$ 〜 $5$ のうちの異なる 2 つの数字が入ります。$4$ の倍数を小さい順に調べると

$00$, $04$, $08$, $12$, $16$, $20$, $24$, $28$, $32$, $36$, $40$, $44$, $48$, $52$, $56$

のうち、$0$ 〜 $5$ の数字だけでできていて、2 つの数字が異なるものは

$04$, $12$, $20$, $24$, $32$, $40$, $52$

の 7 通りです（$00$ と $44$ は同じ数字が 2 回使われるので作れません）。

千の位と百の位の決め方

下 2 けたで使った 2 枚以外の 4 枚から、千の位と百の位に並べます。千の位に $0$ を置けないので、下 2 けたに $0$ を使ったかどうかで分けます。

(1) 下 2 けたに $0$ を使っている場合（$04$, $20$, $40$ の 3 通り）

残りの 4 枚には $0$ がないので、千の位は 4 通り、百の位は残りの 3 通りで、$4\times 3=12$（通り）です。

よって $12\times 3=36$（個）です。

(2) 下 2 けたに $0$ を使っていない場合（$12$, $24$, $32$, $52$ の 4 通り）

残りの 4 枚には $0$ がふくまれます。千の位は $0$ 以外の 3 通り、百の位は残りの 3 枚（$0$ をふくむ）から 3 通りで、$3\times 3=9$（通り）です。

よって $9\times 4=36$（個）です。

(1), (2) より、$4$ の倍数は全部で
$$36+36=72\text{（個）}$$
です。

4 の倍数は、下 2 けたが 4 の倍数になる整数です。使える数字は $0$〜$5$ で、同じ数字は 2 回使えません。

下 2 けたになれる 4 の倍数（2 つの数字が異なるもの）は $04$, $12$, $20$, $24$, $32$, $40$, $52$ の 7 つです（$00$ や $44$ は同じ数字なので使えない。$16$, $28$ などは $6$, $8$ が使えない）。

残りの 4 枚から、千の位（$0$ は不可）と百の位を決めます。
・$04$: 残り $1,2,3,5$。$4\times 3=12$ 個
・$12$: 残り $0,3,4,5$。千の位は $0$ 以外の 3 通り、百の位は 3 通り。$9$ 個
・$20$: 残り $1,3,4,5$。$12$ 個
・$24$: 残り $0,1,3,5$。$9$ 個
・$32$: 残り $0,1,4,5$。$9$ 個
・$40$: 残り $1,2,3,5$。$12$ 個
・$52$: 残り $0,1,3,4$。$9$ 個

合計 $12+9+12+9+9+12+9=72$ 個。

検算: 下 2 けたに $0$ をふくむもの（$04,20,40$）は $12\times 3=36$ 個、ふくまないもの（$12,24,32,52$）は $9\times 4=36$ 個で、合計 72 個です。