技能一覧 › 算数 場合の数

並べ方の数

異なるものを一列に並べる並べ方の数（例: 5 人から 3 人を並べると 5 × 4 × 3 通り）を求められる

前提

• 積の法則と和の法則 （算数 場合の数）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 全部でいくつの異なるものから、いくつを並べるか（場所の数）を確かめる

2. 1 番目の場所に置けるものの数を書く（全部の数）

3. 2 番目以降は、前に置いたものが使えないので、1 つずつ少なくなる数を書く

4. 場所の数だけ書いた数を全部かけ算する（積の法則）

例題

よくある誤り

• 前に選んだ人も数えてしまい、毎回同じ数をかける誤り（例: $6\times 6\times 6=216$）。同じ人が 2 つの順位をとることはできないので、正しくは $6\times 5\times 4=120$

• かける数の個数をまちがえる誤り（例: 3 人を並べるのに $6\times 5\times 4\times 3=360$ とする）。並べる場所は 3 つなので、かける数も 3 つで、正しくは $6\times 5\times 4=120$

• 1 から始まる数をかけてしまう誤り（例: $3\times 2\times 1=6$）。1 番目に置けるのは全部の 6 人なので、正しくは 6 から 1 ずつ小さくして $6\times 5\times 4=120$

• 順番を区別しない「選び方」とまちがえる誤り。1 位 A・2 位 B と 1 位 B・2 位 A は別の決まり方なので、並べ方では両方を数える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  あきら、いずみ、うみ、えいた の 4 人の中から 3 人を選んで、リレーの 1 番目・2 番目・3 番目に走る順番を決めます。

  走る順番の決め方は、全部で何通りありますか。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  A, B, C の $3$ 人が、グー・チョキ・パーのどれか $1$ つを出して $1$ 回じゃんけんをする。$3$ 人全員が同じ手を出すか、$3$ 人がグー・チョキ・パーをすべて $1$ 人ずつ出したときを「あいこ」とする。$3$ 人の手の出し方のうち、あいこになる出し方は何通りあるか求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  横一列に並んだ $3$ つの区画からなる旗がある。赤・青・黄・緑の $4$ 色のうち異なる $3$ 色を使って、$3$ つの区画を $1$ 色ずつ塗り分ける。ただし、真ん中の区画は赤で塗らないものとする。塗り方は全部で何通りあるか求めよ。なお、左右を入れかえた塗り方は別の塗り方として数える。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがある。この 5 枚をすべて使って横一列に並べるとき、次の 2 つの条件をともに満たす並べ方は何通りあるか求めよ。

  $(1)$ どの隣り合う 2 枚についても、書かれた数の差が $2$ 以上である。

  $(2)$ 左端のカードの数は、右端のカードの数より小さい。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  1 個のさいころを 3 回続けて投げ、1 回目、2 回目、3 回目に出た目の数をそれぞれ $a,b,c$ とする。次の 3 つの条件をすべて満たす目の出方は何通りあるか求めよ。

  $(1)$ $a<b$
  $(2)$ $b>c$
  $(3)$ $a\ne c$

この技能の次に学べること

• 数字のカードで整数を作る （算数 場合の数）
• 選び方（組み合わせ）の数 （算数 場合の数）