場合の数と確率の問題

2 回目の目 $b$ の値で場合分けして数える。

$b$ を決めると、条件 $(1)$ より $a$ は $1$ 以上 $b-1$ 以下、条件 $(2)$ より $c$ も $1$ 以上 $b-1$ 以下である。$a,c$ は、$b$ より小さい $(b-1)$ 個の数から選ぶことになる。

さらに条件 $(3)$ より $a$ と $c$ は異なる数なので、$a$ の選び方が $(b-1)$ 通り、そのそれぞれに対して $c$ の選び方は $a$ 以外の $(b-2)$ 通りある。

$b$ ごとに表にまとめると
- $b=1$：$b$ より小さい目がないので $0$ 通り
- $b=2$：$a,c$ はどちらも $1$ しかなく、$a\ne c$ にできないので $0$ 通り
- $b=3$：$a,c$ は $1,2$ から異なるものを選ぶので $2\times 1=2$ 通り
- $b=4$：$1,2,3$ から異なるものを選ぶので $3\times 2=6$ 通り
- $b=5$：$1\sim 4$ から異なるものを選ぶので $4\times 3=12$ 通り
- $b=6$：$1\sim 5$ から異なるものを選ぶので $5\times 4=20$ 通り

たとえば $b=3$ のとき、$(a,c)$ は $(1,2),(2,1)$ の 2 通りである。

よって、求める出方の数は
$$0+0+2+6+12+20=40\text{ (通り)}$$

$b$ の値で場合分けする。条件 $(1)$ $a<b$、$(2)$ $c<b$ をみたす $(a,c)$ は、それぞれ $b-1$ 通りずつあるので $(b-1{)}^2$ 通り。このうち条件 $(3)$ に反する $a=c$ のものは $b-1$ 通り（$a=c$ が $1$ から $b-1$ までのどれか）。よって、$b$ を決めたときの $(a,c)$ の数は $(b-1{)}^2-(b-1)=(b-1)(b-2)$ 通り。

• $b=1$: $0$ 通り
• $b=2$: $1\times 0=0$ 通り
• $b=3$: $2\times 1=2$ 通り
• $b=4$: $3\times 2=6$ 通り
• $b=5$: $4\times 3=12$ 通り
• $b=6$: $5\times 4=20$ 通り

合計 $0+0+2+6+12+20=40$ 通り。

検算: $b=3$ のとき $a,c\in \{1,2\}$ で $a\ne c$ より $(1,2),(2,1)$ の $2$ 通りで一致する。