場合の数と確率の問題

目の出方は全部で $6\times 6=36$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

$a$ の値と $\mathrm{P}$ の位置、$b$ の値と $\mathrm{Q}$ の位置は次のようになる。
- $a=1,2,3,4,5,6$ のとき、$\mathrm{P}$ はそれぞれ $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{A}$
- $b=1,2,3,4,5,6$ のとき、$\mathrm{Q}$ はそれぞれ $\mathrm{F},\mathrm{E},\mathrm{D},\mathrm{C},\mathrm{B},\mathrm{A}$

3 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ で三角形ができるためには、$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ がどちらも $\mathrm{A}$ と異なり、さらに $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ が異なる頂点にあることが必要である。

正六角形の 6 つの頂点は 1 つの円（外接円）の周上にあり、$\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ はこの円の直径である。円周上の 3 点でできる三角形は、ある辺が直径のときに限り、直径に対する円周角が $90^{\circ }$ となって直角三角形になる。よって、$△\mathrm{APQ}$ が直角三角形になるのは、3 辺 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{AQ}$, $\mathrm{PQ}$ のどれかが $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ のどれかになるときである。

$\mathrm{P}$ も $\mathrm{Q}$ も $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ のどれかで、$\mathrm{P}\ne \mathrm{Q}$ の場合について調べる。

(ア) $\mathrm{P}=\mathrm{D}$（$\mathrm{AP}$ が直径）のとき: $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{E},\mathrm{F}$ の $4$ 通り。

(イ) $\mathrm{Q}=\mathrm{D}$（$\mathrm{AQ}$ が直径）のとき: $\mathrm{P}$ は $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{E},\mathrm{F}$ の $4$ 通り。

(ウ) $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ のどちらも $\mathrm{D}$ でなく、$\mathrm{PQ}$ が直径のとき: $(\mathrm{P},\mathrm{Q})=(\mathrm{B},\mathrm{E}),(\mathrm{E},\mathrm{B}),(\mathrm{C},\mathrm{F}),(\mathrm{F},\mathrm{C})$ の $4$ 通り。

(ア)〜(ウ) に重なりはないので、合わせて $4+4+4=12$ 通りである。$\mathrm{P}$ の位置と $a$、$\mathrm{Q}$ の位置と $b$ は 1 対 1 に対応するので、条件を満たす目の出方も $12$ 通りである。

たとえば (ア) は $a=3$ で $b=1,2,4,5$、(イ) は $b=3$ で $a=1,2,4,5$、(ウ) は $(a,b)=(1,2),(4,5),(2,1),(5,4)$ である。

したがって、求める確率は
$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

頂点を A, B, C, D, E, F の順に $0,1,2,3,4,5$ 番と呼ぶ。P は反時計回りに $a$ 個進むので $a=1,\dots ,6$ に対して B, C, D, E, F, A の順、Q は時計回りに $b$ 個進むので $b=1,\dots ,6$ に対して F, E, D, C, B, A の順。
したがって P, Q は 6 つの頂点のどれにも 1 通りずつ対応し、$(a,b)$ 36 通りは P, Q の位置の組 36 通りと 1 対 1 に対応する。
三角形ができるには A, P, Q が異なる 3 点であることが必要で、P, Q は A 以外の頂点（B〜F）で P と Q が異なる。
正六角形は円に内接し、円周角の定理から、直径の両端（A と D、B と E、C と F）の 2 点を含む三角形だけが直角三角形になる。
- P が D の場合: Q は B, C, E, F の 4 通り
- Q が D の場合: P は B, C, E, F の 4 通り
- P, Q が B と E: 2 通り（P=B, Q=E と P=E, Q=B）
- P, Q が C と F: 2 通り
合計 $4+4+2+2=12$ 通り。確率は $\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
検算: 例えば A, B, E は BE が直径で $\angle \mathrm{BAE}=90^{\circ }$ の直角三角形。A, B, C は直径を含まず（$\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ }$）直角三角形でない。