場合の数と確率

$1$ から $10$ までの整数が 1 つずつ書かれた 10 枚のカードがあります。この中から 1 枚を取り出すとき、取り出したカードに書かれた数が 3 の倍数である確率を求めなさい。

6 段ある階段を、1 回に 1 段または 2 段ずつのぼります。下の床から 6 段目までのぼるのぼり方は、全部で何通りありますか。ただし、1 段ずつと 2 段ずつを混ぜてもよく、のぼる順番がちがうものは別ののぼり方として数えます。

3 枚の硬貨 A, B, C を同時に 1 回投げます。表がちょうど 2 枚出る確率を求めなさい。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げます。出た目の数の和が $8$ になる確率を求めなさい。ただし、それぞれのさいころの 1 から 6 までの目は、どの目が出ることも同様に確からしいとします。

$1$, $2$, $3$, $4$ の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが袋に入っています。この袋からカードを 1 枚取り出し、それを戻さずに続けてもう 1 枚取り出します。1 枚目のカードの数字を十の位、2 枚目のカードの数字を一の位として 2 けたの整数をつくるとき、その整数が 3 の倍数になる確率を求めなさい。

袋の中に、赤玉が 3 個、白玉が 2 個、合わせて 5 個の玉が入っています。この袋から同時に 2 個の玉を取り出すとき、2 個とも赤玉である確率を求めなさい。

大小 2 つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目を $a$、小さいさいころの出た目を $b$ とします。$\frac{b}{a}$ が整数になる確率を求めなさい。

袋の中に、赤玉が 2 個、白玉が 3 個、合わせて 5 個の玉が入っています。この袋から同時に 2 個の玉を取り出すとき、少なくとも 1 個は赤玉である確率を求めなさい。

数直線上の原点に点 P があります。1 枚の硬貨を 3 回投げ、表が出たら点 P を正の方向に $2$ だけ移動させ、裏が出たら点 P を負の方向に $1$ だけ移動させます。硬貨を 3 回投げ終えたとき、点 P が $3$ の位置にある確率を求めなさい。

円周上に、正六角形 ABCDEF の 6 つの頂点が反時計回りに A, B, C, D, E, F の順に並んでいます。点 P, Q ははじめ頂点 A にあります。大小 2 つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数だけ点 P を、小さいさいころの出た目の数だけ点 Q を、それぞれ頂点 A から反時計回りに隣の頂点へ 1 つずつ移動させます（たとえば 6 の目が出たら A にもどります）。このとき、3 点 A, P, Q を頂点とする直角三角形ができる確率を求めなさい。

袋の中に、$1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋からカードを 1 枚取り出し、その数字を十の位とする。取り出したカードは袋に戻さずに、続けてもう 1 枚取り出し、その数字を一の位として 2 けたの整数をつくる。このとき、できる 2 けたの整数が 4 の倍数になる確率を求めよ。

数直線上の原点に点 P がある。硬貨を $1$ 回投げるごとに、表が出たら点 P を正の方向に $2$ だけ移動させ、裏が出たら点 P を負の方向に $1$ だけ移動させる。硬貨を $3$ 回投げたあと、点 P が $3$ を表す点にある確率を求めよ。

大小 $2$ つのさいころを同時に投げるとき、大きいさいころの出た目の数が、小さいさいころの出た目の数の $2$ 倍以上になる確率を求めよ。

袋の中に、赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個入っている。この袋から同時に $2$ 個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が $1$ 個ずつ出る確率を求めよ。

A, B, C の $3$ 人が、グー・チョキ・パーのどれか $1$ つを出して $1$ 回じゃんけんをする。$3$ 人全員が同じ手を出すか、$3$ 人がグー・チョキ・パーをすべて $1$ 人ずつ出したときを「あいこ」とする。$3$ 人の手の出し方のうち、あいこになる出し方は何通りあるか求めよ。

1 枚の硬貨を 4 回続けて投げ、表が出るたびに $2$ 点をもらい、裏が出るたびに $1$ 点を失うゲームをする。はじめの得点を $0$ 点とするとき、4 回投げ終わったときの得点が $2$ 点以上になる確率を求めよ。

袋の中に、赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $5$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $2$ 個の玉を取り出すとき、取り出した $2$ 個の玉の色が異なる確率を求めよ。

正方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ はこの順に反時計回りに並んでいる。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、出た目の数の和だけ、点 $\mathrm{P}$ を頂点から頂点へ反時計回りに移動させる。たとえば、出た目の数の和が $5$ のとき、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$ と移動して頂点 $\mathrm{B}$ に止まる。

点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{C}$ に止まる確率を求めよ。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。積 $ab$ が $4$ の倍数になる確率を求めよ。

箱の中に、$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この箱からカードを 1 枚取り出して数字を記録し、そのカードを箱にもどしてよく混ぜてから、もう一度カードを 1 枚取り出して数字を記録する。記録した 2 つの数の積が偶数になる確率を求めよ。

袋の中に、赤玉が $1$ 個、青玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出して色を調べ、その玉を袋に戻してよくかき混ぜてから、もう一度玉を $1$ 個取り出して色を調べる。$1$ 回目と $2$ 回目に取り出した玉の色が同じである確率を求めよ。

箱 $\mathrm{A}$ には $1,2,3$ の数字が $1$ つずつ書かれた $3$ 枚のカードが、箱 $\mathrm{B}$ には $2,3,4,5$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入っている。箱 $\mathrm{A}$、箱 $\mathrm{B}$ からそれぞれカードを $1$ 枚ずつ取り出すとき、取り出した $2$ 枚のカードに書かれた数の積が偶数になる確率を求めよ。

横一列に並んだ $3$ つの区画からなる旗がある。赤・青・黄・緑の $4$ 色のうち異なる $3$ 色を使って、$3$ つの区画を $1$ 色ずつ塗り分ける。ただし、真ん中の区画は赤で塗らないものとする。塗り方は全部で何通りあるか求めよ。なお、左右を入れかえた塗り方は別の塗り方として数える。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。$\sqrt{ab}$ が整数になる確率を求めよ。

$100$ 円硬貨が $1$ 枚、$50$ 円硬貨が $2$ 枚、$10$ 円硬貨が $3$ 枚ある。これらの硬貨の一部または全部を使って、おつりが出ないように支払うことのできる金額は何通りあるか求めよ。ただし、$0$ 円は含めないものとする。

座標平面上で、点 O$(0,0)$ から点 B$(4,3)$ まで、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を順にたどって進む。$1$ 回の移動では、$x$ 座標を $1$ だけ増やす（右へ $1$ 進む）か、$y$ 座標を $1$ だけ増やす（上へ $1$ 進む）かのどちらかを行う。このような進み方のうち、点 P$(2,1)$ を通らないものは何通りあるか求めよ。

正五角形 ABCDE があり、頂点は反時計回りに A, B, C, D, E の順に並んでいる。点 P ははじめ頂点 A にある。大小 $2$ つのさいころを同時に投げ、まず大きいさいころの出た目の数だけ、点 P を頂点から頂点へ反時計回りに移動させる。続いて、小さいさいころの出た目の数だけ、点 P を頂点から頂点へ時計回りに移動させる。このとき、点 P が頂点 A にある確率を求めよ。

正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ があり、頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ はこの順に反時計回りに並んでいる。2 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数だけ点 $\mathrm{P}$ を頂点から頂点へ反時計回りに移動させ、小さいさいころの出た目の数だけ点 $\mathrm{Q}$ を頂点から頂点へ時計回りに移動させる。たとえば、大きいさいころの目が $2$、小さいさいころの目が $1$ のとき、$\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{C}$、$\mathrm{Q}$ は頂点 $\mathrm{F}$ に移る。

移動したあと、3 点 $\mathrm{A},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ を結んでできる図形が直角三角形になる確率を求めよ。ただし、3 点のうち 2 点以上が同じ頂点にあるときは、三角形はできないものとする。

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。座標平面上に点 $\mathrm{P}(a,b)$ をとるとき、点 $\mathrm{P}$ が関数 $y=\frac{12}{x}$ のグラフ上にあるか、またはこのグラフより下側にある確率を求めよ。ただし、「グラフより下側にある」とは、$b$ が $x=a$ のときの $y$ の値 $\frac{12}{a}$ より小さいことをいう。

数直線上の原点に点 $\mathrm{P}$ がある。大小 $2$ つのさいころを同時に $1$ 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。点 $\mathrm{P}$ を次の規則にしたがって移動させる。

• まず、点 $\mathrm{P}$ を正の方向に $a$ だけ移動させる。
• 続いて、$b$ が偶数のときは点 $\mathrm{P}$ を正の方向に $b$ だけ移動させ、$b$ が奇数のときは点 $\mathrm{P}$ を負の方向に $b$ だけ移動させる。

移動を終えたときの点 $\mathrm{P}$ の位置を表す数が $-2$ 以上 $2$ 以下である確率を求めよ。

$0,1,2,3$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードがある。この中から $3$ 枚を選んで横一列に並べ、$3$ けたの整数をつくる。このとき、つくることのできる $3$ けたの偶数は何通りあるか求めよ。ただし、$0$ のカードを百の位に置いたものは $3$ けたの整数とはみなさない。

$1$ 個のさいころと、$2$ 枚の硬貨 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を同時に $1$ 回投げる。さいころの出た目の数を $a$、表が出た硬貨の枚数を $k$ とし、得点を $a\times (k+1)$ 点とする。たとえば、さいころの目が $4$ で、硬貨 $\mathrm{A}$ だけが表のときの得点は $4\times 2=8$ 点である。得点が $8$ 点以上になる確率を求めよ。

大小 $2$ つのさいころを同時に $1$ 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。$1$ 次関数 $y=ax-b$ について、$x=2$ のときの $y$ の値が $5$ 以上になる確率を求めよ。

袋の中に、赤玉が $2$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出していく。取り出した玉は袋に戻さず、$2$ 個目の赤玉を取り出した時点で取り出すのをやめる。取り出すのをやめるまでに取り出した玉の個数（$2$ 個目の赤玉を含む）が偶数である確率を求めよ。

$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがある。この 5 枚をすべて使って横一列に並べるとき、次の 2 つの条件をともに満たす並べ方は何通りあるか求めよ。

$(1)$ どの隣り合う 2 枚についても、書かれた数の差が $2$ 以上である。

$(2)$ 左端のカードの数は、右端のカードの数より小さい。

袋の中に、$1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋から同時に 3 枚のカードを取り出し、取り出した 3 枚のカードに書かれた数の積を求める。この積が $12$ の倍数になる確率を求めよ。

$12$ 段ある階段を、$0$ 段目（いちばん下の床）から $12$ 段目（いちばん上）までのぼる。1 回に $1$ 段または $2$ 段のぼることができるが、$5$ 段目と $9$ 段目はこわれているので、そこに足をつくことはできない。$12$ 段目にちょうど着くようなのぼり方は全部で何通りあるか求めよ。ただし、のぼり方は、1 回ごとに $1$ 段のぼるか $2$ 段のぼるかの並び方で区別する。

正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ があり、頂点は反時計回りに $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ の順に並んでいる。はじめ、2 つの点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ はどちらも頂点 $\mathrm{A}$ にある。大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ から反時計回りに $a$ 個先の頂点へ、点 $\mathrm{Q}$ は頂点 $\mathrm{A}$ から時計回りに $b$ 個先の頂点へ、それぞれ頂点を 1 つずつ順に移動する。移動したあとの 3 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ を頂点とする直角三角形ができる確率を求めよ。

袋 A には赤玉 $2$ 個と白玉 $1$ 個、袋 B には赤玉 $1$ 個と白玉 $2$ 個が入っている。まず、袋 A から玉を $1$ 個取り出して袋 B に入れ、よくかき混ぜる。続いて、袋 B から玉を $1$ 個取り出して袋 A に入れる。このあと、袋 A に入っている赤玉の個数が $2$ 個である確率を求めよ。

$1,2,3,4,5,6,7$ の数字が $1$ つずつ書かれた $7$ 枚のカードが袋に入っている。この袋から $3$ 枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた $3$ つの数をそれぞれ辺の長さとする三角形をつくる。三角形ができる確率を求めよ。ただし、$3$ つの数のうち最も大きい数が残りの $2$ つの数の和より小さいときに三角形ができ、そうでないときは三角形ができないものとする。

1 個のさいころを 3 回続けて投げ、1 回目、2 回目、3 回目に出た目の数をそれぞれ $a,b,c$ とする。次の 3 つの条件をすべて満たす目の出方は何通りあるか求めよ。

$(1)$ $a<b$
$(2)$ $b>c$
$(3)$ $a\ne c$

立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ がある。四角形 $\mathrm{ABCD}$ と四角形 $\mathrm{EFGH}$ は向かい合う面であり、辺 $\mathrm{AE},\mathrm{BF},\mathrm{CG},\mathrm{DH}$ はこの立方体の辺である。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。$1$ 個のさいころを $1$ 回投げるごとに、点 $\mathrm{P}$ を次の規則にしたがって、いまいる頂点から辺を $1$ 本たどってとなりの頂点へ移動させる。

• $1$ または $2$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AB}$ に平行な辺をたどって移動する。
• $3$ または $4$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AD}$ に平行な辺をたどって移動する。
• $5$ または $6$ の目が出たら、辺 $\mathrm{AE}$ に平行な辺をたどって移動する。

（どの頂点にも、辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AD},\mathrm{AE}$ のそれぞれに平行な辺がちょうど $1$ 本ずつつながっているので、移動先はただ $1$ つに決まる。）

さいころを $4$ 回投げたあと、点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ にある確率を求めよ。