場合の数と確率の問題

隣に置けるカードを整理する 条件 $(1)$ より、各カードの隣に置けるカードは次のとおりである。
- $1$ の隣: $3,4,5$
- $2$ の隣: $4,5$
- $3$ の隣: $1,5$
- $4$ の隣: $1,2$
- $5$ の隣: $1,2,3$

条件 $(1)$ を満たす並べ方を樹形図で数える 左端のカードで場合分けする。

左端が $1$ のとき: $1\to 3\to 5\to 2\to 4$、$1\to 4\to 2\to 5\to 3$ の 2 通り。（$1\to 5$ と進むと、次に $2$ を置けば $4$ の後に $3$ が置けず、$3$ を置けば次に置けるカードがない。）

左端が $2$ のとき: $2\to 4\to 1\to 3\to 5$、$2\to 4\to 1\to 5\to 3$、$2\to 5\to 3\to 1\to 4$ の 3 通り。（$2\to 5\to 1$ と進むと、残りの $3,4$ が並べられない。）

左端が $3$ のとき: $3\to 1\to 4\to 2\to 5$、$3\to 1\to 5\to 2\to 4$、$3\to 5\to 1\to 4\to 2$、$3\to 5\to 2\to 4\to 1$ の 4 通り。

左端が $4$ のとき: $4\to 1\to 3\to 5\to 2$、$4\to 2\to 5\to 1\to 3$、$4\to 2\to 5\to 3\to 1$ の 3 通り。

左端が $5$ のとき: $5\to 2\to 4\to 1\to 3$、$5\to 3\to 1\to 4\to 2$ の 2 通り。

よって条件 $(1)$ を満たす並べ方は $2+3+4+3+2=14$ 通りある。

条件 $(2)$ を考える 条件 $(1)$ を満たす並べ方を左右逆にした並べ方も、隣り合う 2 枚の組は変わらないので条件 $(1)$ を満たす。左右逆にすると左端と右端が入れかわるので、14 通りは「左端 < 右端」のものと「左端 > 右端」のものが 1 対 1 に対応し、ちょうど半分ずつになる（左端と右端は異なるカードなので等しくなることはない）。

したがって求める並べ方は
$$14÷2=7(\text{通り})$$

（実際、$13524,14253,24135,24153,25314,31425,31524$ の 7 通りである。）

まず条件 (1) だけを満たす並べ方を数える。隣り合う 2 枚の差が 2 以上、つまり 1 差の組 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5) が隣り合わないようにする。

左端の数で場合分けする。
- 左端 1: 1,3,5,2,4 / 1,4,2,5,3 の 2 通り
- 左端 2: 2,4,1,3,5 / 2,4,1,5,3 / 2,5,3,1,4 の 3 通り
- 左端 3: 3,1,4,2,5 / 3,1,5,2,4 / 3,5,1,4,2 / 3,5,2,4,1 の 4 通り
- 左端 4: 対称性（各数 $k$ を $6-k$ に置き換える）により左端 2 と同数の 3 通り
- 左端 5: 左端 1 と同数の 2 通り

合計 $2+3+4+3+2=14$ 通り。

並べ方を左右逆にしても条件 (1) は変わらず、(1) を満たす並べ方は左端と右端が等しくなることはない（異なるカード）ので、左端 < 右端のものと左端 > 右端のものは逆順で 1 対 1 に対応する。したがって (2) も満たすのは $14÷2=7$ 通り。

確認: 左端 < 右端のものを実際に挙げると 1,3,5,2,4 / 1,4,2,5,3 / 2,4,1,3,5 / 2,4,1,5,3 / 2,5,3,1,4(右端 4 で 2<4) / 3,1,4,2,5 / 3,1,5,2,4 の 7 通り。