場合の数と確率の問題

取り出した $3$ 枚のカードの数を、小さい順に $p,q,r$（$p<q<r$）とする。三角形ができる条件は $r<p+q$ である。

全体の数

最も大きい数 $r$ で分けて、残り $2$ つの選び方を数える。$r$ より小さい数は $r-1$ 個あり、そこから $2$ つ選ぶ。

• $r=3$：$\{1,2\}$ の $1$ 通り
• $r=4$：$1,2,3$ から $2$ つで $3$ 通り
• $r=5$：$1\sim 4$ から $2$ つで $6$ 通り
• $r=6$：$1\sim 5$ から $2$ つで $10$ 通り
• $r=7$：$1\sim 6$ から $2$ つで $15$ 通り

よって、取り出し方は全部で $1+3+6+10+15=35$（通り）あり、これらは同様に確からしい。

三角形ができる場合（$p+q>r$ となる $(p,q)$ を探す）

• $r=3$：$(1,2)$ は和 $3$ で、$3$ より大きくないのでなし。$0$ 通り
• $r=4$：$(2,3)$（和 $5$）の $1$ 通り
• $r=5$：$(2,4)$（和 $6$）, $(3,4)$（和 $7$）の $2$ 通り
• $r=6$：$(2,5)$, $(3,4)$, $(3,5)$, $(4,5)$ の $4$ 通り（和はそれぞれ $7,7,8,9$）
• $r=7$：$(2,6)$, $(3,5)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(4,6)$, $(5,6)$ の $6$ 通り（和はそれぞれ $8,8,9,9,10,11$）

なお、$p=1$ のときは $p+q=1+q\le r$ となる（$q<r$ だから $q+1\le r$）ので、三角形はできない。

よって、三角形ができる取り出し方は $0+1+2+4+6=13$（通り）。

したがって、求める確率は
$$\frac{13}{35}$$

3 枚の取り出し方は ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ 通り（カードはすべて区別する）。
取り出した 3 つの数を小さい順に $x<y<z$ とする。三角形ができるのは $z<x+y$ のとき。
三角形ができない $x+y\le z$ の場合を、最大の数 $z$ ごとに数える。
- $z=3$: $(1,2)$ の $1$ 通り
- $z=4$: $(1,2),(1,3)$ の $2$ 通り
- $z=5$: $(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)$ の $4$ 通り
- $z=6$: $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4)$ の $6$ 通り
- $z=7$: $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)$ の $9$ 通り
合計 $1+2+4+6+9=22$ 通り。三角形ができるのは $35-22=13$ 通り。確率は $\frac{13}{35}$。
検算: 三角形ができる組を書き出すと $(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(2,6,7),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),(4,6,7),(5,6,7)$ の $13$ 通りで一致する。