りんご、みかん、バナナ、ぶどう、もものくだものが 1 つずつあります。この 5 つの中から 2 つを選びます。選び方は全部で何通りありますか。ただし、選ぶ順番は考えません。
選び方（組み合わせ）の数
並べ方の数を、同じ組になる並べ方の数でわって、順番を考えない選び方の数（例: 4 人から 2 人を選ぶと 4 × 3 ÷ 2 通り）を求められる
前提
- 並べ方の数 （算数 場合の数）
この技能までの道筋（3 技能）
説明
何人かの中から代表を選ぶ、何種類かの中からいくつか選ぶ、のように「順番を考えずに選ぶ」ときの選び方の数を求められるようになります。並べ方の数を求めてから、同じ組になる並べ方の数でわる、という方法を使います。試合の組み合わせや、点を結んでできる線の本数を数える場面でも使えます。
なぜそうしてよいのか
A, B, C, D の 4 人から 2 人を選ぶことを考えます。まず順番も考えて 2 人を並べると、1 人目が 4 通り、2 人目が 3 通りで 通りです。でもこの 12 通りの中には、「A→B」と「B→A」のように、選ばれた 2 人は同じなのに順番だけがちがうものが入っています。選ぶだけなら、この 2 つは同じ 1 通りです。
同じ 2 人の組 {A, B} からできる並べ方は「A→B」「B→A」の 通りで、ほかのどの組でも 2 通りずつです。つまり、並べ方の 12 通りは、選び方 1 通りにつき 2 通りずつ重なって数えられています。だから、選び方の数は 通りになります。
3 人を選ぶときも同じです。同じ 3 人の組からできる並べ方は 通りあるので、並べ方の数を 6 でわれば選び方の数になります。いつでも「並べ方の数 ÷ 同じ組の並べ方の数」で求められるのは、どの組も同じ数ずつ重なって数えられているからです。
手順
いくつの中からいくつを選ぶのかを確かめ、順番を考えない（選ぶだけの）問題であることを確かめる
まず順番も考えて並べたとみなし、並べ方の数を求める（例: 5 人から 3 人なら ）
選んだものどうしの並べ方の数を求める。これが 1 つの組が何回重なって数えられたかを表す（例: 3 人なら ）
並べ方の数を、同じ組の並べ方の数でわる（例: ）
例題
A, B, C, D, E の 5 人の中から、そうじ当番を 3 人選びます。選び方は全部で何通りありますか。
例題の解答
【手順 1】5 人の中から 3 人を選びます。当番は 3 人とも同じ役なので、順番は考えません。
【手順 2】まず順番も考えて 3 人を並べると、1 人目が 5 通り、2 人目が 4 通り、3 人目が 3 通りなので
で 60 通りです。
【手順 3】同じ 3 人の組（たとえば A, B, C）からできる並べ方は
で 6 通りです（ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA）。60 通りの中では、どの組も 6 回ずつ数えられています。
【手順 4】だから選び方の数は
で 10 通りです。
答え:
よくある誤り
順番を考えない選び方なのに、並べ方の数をそのまま答えて 通りとしてしまう誤り。正しくは、同じ組の並べ方 6 通りでわって 通り
3 人を選ぶのに、同じ組の並べ方を 3 通りと考えて 通りとしてしまう誤り。正しくは、3 人の並べ方は 通りなので 通り
4 人から 2 人を選ぶとき、わるのを忘れて 通りとしてしまう誤り。正しくは、A→B と B→A は同じ組なので 通り
委員長と副委員長を選ぶように役割がちがう場合にも 2 でわって 通りとしてしまう誤り。正しくは、役割がちがえば順番を区別するので 通り
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
図書係の候補として、男子が 4 人、女子が 3 人います。この中から、男子 2 人と女子 1 人の合わせて 3 人を図書係に選びます。選び方は全部で何通りありますか。ただし、選んだ 3 人の間に役割の区別はないものとします。
から までの整数が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがあります。この中から 3 枚を同時に選ぶとき、選んだ 3 枚のカードに書かれた数の和が の倍数になるような選び方は、全部で何通りありますか。ただし、選ぶ順番は考えません。
1 辺 1 cm の正方形のマスを、横に 5 個、たてに 3 個、すきまなく並べて、横 5 cm、たて 3 cm の長方形の方眼を作りました。この方眼には、横に引かれた線（上下のふちもふくむ）が 4 本、たてに引かれた線（左右のふちもふくむ）が 6 本あります。
この方眼の線だけを辺として使ってかくことのできる長方形のうち、正方形でないものは全部で何個ありますか。ただし、ここでの長方形には、方眼全体の長方形や 1 マスより大きい長方形もふくめ、大きさや位置がちがうものは別のものとして数えます。
平行な 2 本の直線 ア、イ があります。直線 ア の上には異なる 4 個の点が、直線 イ の上には異なる 5 個の点があり、点は全部で 9 個です。
この 9 個の点の中から 3 個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。三角形は全部で何個できますか。ただし、頂点の組が異なる三角形は、別の三角形として数えます。
正八角形があります。この正八角形の 個の頂点の中から 個を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。このようにして作ることのできる三角形のうち、正八角形の辺を 本も三角形の辺として含まないものは、全部で何個ありますか。
男子 4 人と女子 3 人の合わせて 7 人の中から、3 人の委員を選びます。選ぶ 3 人の中には、男子も女子も少なくとも 1 人ずつふくまれるようにします。また、男子の 1 人である太郎さんと、女子の 1 人である花子さんの 2 人を、両方とも委員に選ぶことはしません。委員の選び方は、全部で何通りありますか。
この技能の次に学べること
- 組み合わせの応用（条件つきの選び方・図形の個数） （算数 場合の数）
- 同時に取り出す確率（組み合わせの取り出し） （中学数学 場合の数と確率）