場合の数の問題

同じ直線の上にある 3 個の点を選ぶと、3 個の点が一直線に並んでしまい、三角形はできません。したがって、三角形ができるのは、次の 2 つの場合です。

(1) 直線 ア から 2 個、直線 イ から 1 個選ぶ場合

直線 ア の 4 個の点から 2 個を選ぶ選び方は、1 個目が 4 通り、2 個目が 3 通りで $4\times 3=12$ 通りですが、選ぶ順番は考えないので 2 でわって
$$4\times 3÷2=6(\text{通り})$$

直線 イ の 5 個の点から 1 個を選ぶ選び方は $5$ 通りなので、
$$6\times 5=30(\text{個})$$

(2) 直線 ア から 1 個、直線 イ から 2 個選ぶ場合

直線 ア の 4 個の点から 1 個を選ぶ選び方は $4$ 通り。

直線 イ の 5 個の点から 2 個を選ぶ選び方は
$$5\times 4÷2=10(\text{通り})$$

なので、
$$4\times 10=40(\text{個})$$

合計

(1) と (2) は重ならないので、
$$30+40=70(\text{個})$$

よって、三角形は全部で $70$ 個できます。

三角形ができるのは、3 点が一直線上に並ばないときです。ア の上の点が 2 個で イ の上の点が 1 個、または ア の上が 1 個で イ の上が 2 個のときに三角形ができます。(3 点とも同じ直線上だと三角形になりません。)

(1) ア から 2 個、イ から 1 個: ア の 4 個から 2 個を選ぶ方法は 4×3÷2=6 通り、イ の 5 個から 1 個は 5 通り。6×5=30 個。

(2) ア から 1 個、イ から 2 個: ア から 1 個は 4 通り、イ の 5 個から 2 個を選ぶ方法は 5×4÷2=10 通り。4×10=40 個。

合計 30+40=70 個。

検算: 9 個から 3 個を選ぶ方法は 9×8×7÷6=84 通り。そこから 3 点が同じ直線上になるものを引く。ア の 4 個から 3 個は 4 通り、イ の 5 個から 3 個は 10 通り。84-4-10=70 個。一致。