場合の数の問題

まず、作ることのできる三角形の数を全部数えます。

$8$ 個の頂点から $3$ 個を順番をつけて選ぶと $8\times 7\times 6=336$ 通りです。同じ $3$ 個の頂点の組は、選ぶ順番の違いで $3\times 2\times 1=6$ 回ずつ数えられているので、三角形の数は
$$336÷6=56\text{（個）}$$
です（正八角形のどの $3$ 個の頂点も一直線上にはないので、どれも三角形になります）。

次に、正八角形の辺を三角形の辺として含むものを数えます。

正八角形の辺を $2$ 本含む三角形　となり合う $3$ 個の頂点を選んだときです。真ん中の頂点を決めればその両どなりも決まります。真ん中の頂点の選び方が $8$ 通りあるので、このような三角形は $8$ 個です。

正八角形の辺をちょうど $1$ 本含む三角形　まず、含む辺を $1$ 本選びます。これは $8$ 通りです。残りの $1$ 個の頂点は、その辺の両はしの $2$ 個の頂点と、それぞれのとなりの頂点（$2$ 個）を除いた $8-4=4$ 個の中から選びます。となりの頂点を選ぶと辺が $2$ 本になってしまうからです。よって
$$8\times 4=32\text{（個）}$$
です。

正八角形の辺を $3$ 本とも含む三角形はありません。

したがって、正八角形の辺を $1$ 本も含まない三角形は
$$56-8-32=16\text{（個）}$$
です。

（たしかめ）頂点を順に $1,2,\dots ,8$ とすると、頂点 $1$ をふくみ、となり合う頂点を選ばないものは $\{1,3,5\},\{1,3,6\},\{1,3,7\},\{1,4,6\},\{1,4,7\},\{1,5,7\}$ の $6$ 個です。どの頂点についても $6$ 個ずつで、$1$ つの三角形は $3$ 個の頂点それぞれで数えられるので $8\times 6÷3=16$ 個となり、一致します。

正八角形の頂点を順に 1, 2, ..., 8 と呼びます。三角形が正八角形の辺を含まないのは、選んだ 3 つの頂点のどの 2 つも、となり合っていないときです。

頂点 1 を選ぶ場合を考えます。残りの 2 つは、頂点 1 の両どなり（2 と 8）を選べないので、3, 4, 5, 6, 7 から選びます。この 5 つのうち、となり合わない 2 つの選び方を数えます。
全部の選び方は 5×4÷2=10 通りで、となり合うもの（3-4, 4-5, 5-6, 6-7）が 4 通りなので、10−4=6 通りです。

よって頂点 1 を含む三角形は 6 個です。同じように、どの頂点を含む三角形も 6 個ずつあります。三角形は 3 つの頂点を持つので、数えすぎを調整して、8×6÷3=16 個です。

確かめ: 頂点の間の「あき」の数（辺の本数）で調べます。3 つの頂点で円周を 3 つの部分に分けたとき、各部分は 2 本以上の辺を含む必要があり、合計 8 本です。部分の本数の組は (2, 2, 4)、(2, 3, 3) で、(2, 2, 4) は 8 個、(2, 3, 3) は 8 個となり、合計 16 個です。