場合の数の問題

3 の倍数は、各位の数字の和が 3 の倍数になる整数です。そこで、まず和が 3 の倍数になる 3 枚のカードの組を見つけ、それぞれの組で何個の整数ができるかを数えます。

和が 3 の倍数になる 3 枚の組

6 枚のカードを、3 でわったあまりで分けると
- あまり 0: $0$, $3$
- あまり 1: $1$, $4$
- あまり 2: $2$, $5$

となります。3 枚の数の和が 3 の倍数になるのは、あまりが「0, 1, 2」のように 1 枚ずつになるときか、3 枚とも同じあまりのときです。同じあまりのカードは 2 枚ずつしかないので、3 枚とも同じあまりにはできません。よって、それぞれのグループから 1 枚ずつ選ぶことになり、組は $2\times 2\times 2=8$ 組あります。

$0$ をふくむ組: $\{0,1,2\},\{0,1,5\},\{0,4,2\},\{0,4,5\}$ の 4 組

$0$ をふくまない組: $\{3,1,2\},\{3,1,5\},\{3,4,2\},\{3,4,5\}$ の 4 組

それぞれの組からできる整数の数

$0$ をふくまない組では、3 枚の並べ方は $3\times 2\times 1=6$ 通りで、どれも 3 けたの整数になります。よって $4\times 6=24$ 個です。

$0$ をふくむ組では、百の位に $0$ 以外の 2 枚のどちらかを置き（2 通り）、残りの 2 枚を十の位と一の位に並べる（2 通り）ので、$2\times 2=4$ 通りです。よって $4\times 4=16$ 個です。

したがって、3 の倍数は
$$24+16=40\text{（個）}$$
です。

3 の倍数は、各位の数の和が 3 の倍数になる整数。使う 3 枚のカードの数の和が 3 の倍数になる組を調べる。
0〜5 を 3 でわったあまりで分ける。あまり 0: {0, 3}、あまり 1: {1, 4}、あまり 2: {2, 5}。
3 枚の和が 3 の倍数になるのは、(a) 3 枚とも同じあまり、(b) あまりが 0, 1, 2 が 1 枚ずつ、のどちらか。(a) は各あまりのカードが 2 枚しかないので不可。(b) は $2\times 2\times 2=8$ 組。
組を 0 を含むものと含まないものに分ける。
0 を含む組: 0 と {1,4} の 1 枚と {2,5} の 1 枚で $2\times 2=4$ 組。たとえば {0,1,2}。0 を百の位に置けないので並べ方は $3\times 2\times 1-2\times 1=4$ 通り。$4\times 4=16$ 個。
0 を含まない組: 3 と {1,4} の 1 枚と {2,5} の 1 枚で 4 組。並べ方は $3\times 2\times 1=6$ 通り。$4\times 6=24$ 個。
合計 $16+24=40$ 個。
検算: 3 けたの整数は 100 個。例として {0,1,2} は 102, 120, 201, 210 の 4 個で、いずれも 3 の倍数。{1,2,3} は 6 個全部が 3 の倍数。一致する。