場合の数の問題

ある整数が $4$ の倍数になるのは、下 2 けた（十の位と一の位でできる 2 けたの数）が $4$ の倍数になるときです。

下 2 けたの候補を調べる

一の位は偶数なので、$0$ か $2$ です。カードを使って作れる下 2 けたのうち、$4$ の倍数になるものを探します。
- 一の位が $0$ のとき: $10$, $20$, $30$ のうち $4$ の倍数は $20$ だけです。
- 一の位が $2$ のとき: $02$, $12$, $22$, $32$ のうち $4$ の倍数は $12$ と $32$ です（$02$ は $2$、$22$ は $4$ でわり切れません）。

よって、下 2 けたは $12$, $20$, $32$ の 3 通りです。

それぞれの場合で、千の位と百の位の決め方を数える

(1) 下 2 けたが $12$ のとき: 残りのカードは $0$, $2$, $3$ です。千の位は $0$ 以外なので $2$ か $3$ の 2 通り、百の位は残りの 2 枚から選ぶので 2 通りです。$2\times 2=4$（個）
（$2012$, $2312$, $3012$, $3212$）

(2) 下 2 けたが $20$ のとき: 残りのカードは $1$, $2$, $3$ です。千の位は 3 通り、百の位は 2 通りなので $3\times 2=6$（個）
（$1220$, $1320$, $2120$, $2320$, $3120$, $3220$）

(3) 下 2 けたが $32$ のとき: 残りのカードは $0$, $1$, $2$ です。千の位は $1$ か $2$ の 2 通り、百の位は 2 通りなので $2\times 2=4$（個）
（$1032$, $1232$, $2032$, $2132$）

合計

$$4+6+4=14$$

よって、$4$ の倍数は $14$ 個です。

4 の倍数は下 2 けたが 4 の倍数になる数です。5 枚から 4 枚を選ぶとき、使わない 1 枚で場合分けします（2 のカード 2 枚は同じ数字なので、できる整数が同じなら 1 個と数えます）。

(ア) 0 を使わない（使う数字が 1, 2, 2, 3）: 下 2 けたが 4 の倍数になるのは 12 と 32。12 のとき上 2 けたは 2, 3 の並べ方で 2 通り（2312, 3212）。32 のとき上 2 けたは 1, 2 の並べ方で 2 通り（1232, 2132）。合計 4 個。

(イ) 1 を使わない（0, 2, 2, 3）: 下 2 けたが 4 の倍数になるのは 20 と 32。20 のとき上 2 けたは 2, 3 の並べ方で 2 通り（2320, 3220）。32 のとき上 2 けたは 0, 2 で、千の位が 0 は不可なので 2032 の 1 通り。合計 3 個。

(ウ) 2 を 1 枚だけ使わない（0, 1, 2, 3）: 下 2 けたが 4 の倍数になるのは 12, 32, 20。12 のとき上 2 けたは 0, 3 で 3012 の 1 通り（0312 は不可）。32 のとき上は 0, 1 で 1032 の 1 通り。20 のとき上は 1, 3 で 1320, 3120 の 2 通り。合計 4 個。

(エ) 3 を使わない（0, 1, 2, 2）: 下 2 けたが 4 の倍数になるのは 12 と 20。12 のとき上は 0, 2 で 2012 の 1 通り。20 のとき上は 1, 2 で 1220, 2120 の 2 通り。合計 3 個。

全部で $4+3+4+3=14$ 個。

確かめ: 14 個を書き出すと 2312, 3212, 1232, 2132, 2320, 3220, 2032, 3012, 1032, 1320, 3120, 2012, 1220, 2120。どれも下 2 けたが 12, 32, 20 で 4 の倍数であり、重なりもありません。