, , , の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがあります。このうち 3 枚を並べて 3 けたの整数を作ります。3 けたの整数は全部で何通りできますか。
数字のカードで整数を作る
0 のカードを最上位に置けないことや、同じ数字のカードがあることに気をつけて、カードで作れる整数の個数や、偶数・倍数になる整数の個数を求められる
前提
- 並べ方の数 （算数 場合の数）
この技能までの道筋（3 技能）
説明
数字が書かれたカードを何枚か並べて整数を作るとき、全部で何通りの整数ができるかを数えられるようになります。0 のカードがあるときや、同じ数字のカードがあるとき、偶数・5 の倍数だけを数えたいときは、ふつうの並べ方の数をそのまま使えません。そういうときにどこから先に決めればよいかがわかり、まちがえずに数えられるようになります。
なぜそうしてよいのか
カードを並べて整数を作るのは、「百の位・十の位・一の位」という席にカードを 1 枚ずつ座らせることと同じです。なので、基本は並べ方の数（積の法則）で数えられます。ただし「0 は百の位（いちばん上の位）に座れない」という決まりがあります。たとえば 0・1・2 を並べた「012」は 3 けたの数ではなく、12 という 2 けたの数になってしまうからです。
席に条件があるときは、条件がきびしい席から先にカードを決めるとうまく数えられます。百の位に置けるのは 0 以外のカードだけなので、まず百の位の決め方を数えます。百の位を先に決めたあとは、残りの位には使っていないカードを（0 もふくめて）どれでも置けるので、どのカードを百の位に使ったときでも、十の位・一の位に置けるカードの枚数は同じになり、積の法則がそのまま使えます。反対に、十の位や一の位を先に決めると、そこで 0 を使ったかどうかで百の位に置ける枚数が変わってしまい、そのままではかけ算できません。
偶数（一の位が 0, 2, 4, 6, 8）や 5 の倍数（一の位が 0 か 5）を数えるときは、一の位にも条件がつきます。このとき、一の位が 0 のときと 0 でないときでは、百の位に残るカードの枚数が変わります。だから「一の位が 0 のとき」「一の位が 0 以外のとき」に分けて数え、最後に和の法則でたし合わせます。
同じ数字のカードが 2 枚以上あるときは、カードを入れかえても同じ整数になるので、並べ方の数をそのまま答えにはできません。カードではなく「数字」で樹形図をかき、同じ数字は 1 本の枝にまとめ、残っている枚数を見ながら位ごとに場合を分けます。たとえば 1, 1, 2 の 3 枚で 3 けたの整数を作るとき、百の位は 1 か 2 の 2 つの場合に分けます。百の位が 1 なら残りは 1 と 2 なので、十の位が 1 か 2 で 112, 121 の 2 個。百の位が 2 なら残りは 1 と 1 なので 211 の 1 個だけ。あわせて 個です。「ちがう数字の 2 をどの位に置くか」で考えて 3 通り、と数えることもできます。
手順
何けたの整数を作るのか、カードは何枚あって、0 のカードや同じ数字のカードがあるかを確かめる
条件のついている位（いちばん上の位、偶数なら一の位など）を見つけ、そこから先にカードの決め方を数える
いちばん上の位には 0 以外のカードしか置けないので、置けるカードの枚数を数える。たとえば 0, 1, 2, 3 なら 3 通り
いちばん上の位を決めたあと、残りの位には、まだ使っていないカードをどれでも置けるので、残りの枚数を順にかける（積の法則）
一の位に 0 が来る場合と来ない場合で残りの枚数が変わるときは、場合を分けてそれぞれ数え、たし合わせる（和の法則）
同じ数字のカードがあるときは、数字で樹形図をかいて同じ数字の枝を 1 本にまとめ、上の位から「どの数字を置くか」で場合を分けて、重ならないように数える（例: 1, 1, 2 なら百の位が 1 のとき 112, 121、2 のとき 211 で 3 個）
例題
0, 1, 2, 3 の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがあります。このうち 3 枚を並べて 3 けたの整数を作ります。3 けたの整数は全部で何個できますか。
例題の解答
【手順 1】作るのは 3 けたの整数で、カードは 0, 1, 2, 3 の 4 枚です。0 のカードがあり、同じ数字のカードはありません。
【手順 2】条件がついているのは百の位です（0 を置けない）。だから百の位から決めます。
【手順 3】百の位に置けるのは 1, 2, 3 の 3 通りです。
【手順 4】百の位を決めたあと、十の位には、百の位で使ったカード以外の 3 枚（0 もふくむ）のどれでも置けるので 3 通りです。一の位には、残りの 2 枚のどれかを置けるので 2 通りです。
よって、積の法則より
で、18 個です。
（たしかめ: 百の位が 1 のとき、102, 103, 120, 123, 130, 132 の 6 個。百の位が 2, 3 のときも同じく 6 個ずつなので、 個です。）
答え:
よくある誤り
0 のカードも百の位に置けるものとして 個としてしまう誤り。正しくは、百の位には 0 を置けないので 個
百の位で 0 を使えないことを、十の位や一の位にも当てはめて 個としてしまう誤り。正しくは、十の位・一の位には 0 を置けるので 個
0, 1, 2, 3 で 3 けたの偶数を数えるとき、一の位を 0 か 2 の 2 通りとして 個のようにまとめて計算してしまう誤り。正しくは、一の位が 0 のときは 個、一の位が 2 のときは百の位が 1, 3 の 2 通りで 個なので、あわせて 個
1, 1, 2 の 3 枚のカードで 3 けたの整数を数えるとき、 個としてしまう誤り。正しくは、2 枚の 1 を入れかえても同じ整数になるので、百の位が 1 のとき 112, 121、百の位が 2 のとき 211 で、できるのは 3 個
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
, , , , の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。
このとき、できる 3 けたの整数のうち、偶数は全部で何個ありますか。
, , , の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。
できる 3 けたの整数のうち、 より大きいものは全部で何個ありますか。
, , , , , の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。ただし、 のカードをいちばん左（百の位）に置くことはできません。作ることのできる 3 けたの整数のうち、偶数は全部で何個ありますか。
, , , , の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。ただし、 のカードをいちばん左（百の位）に置くことはできません。作ることのできる 3 けたの整数のうち、偶数は全部で何個ありますか。
の数字が つずつ書かれた 枚のカードがある。この中から 枚を選んで横一列に並べ、 けたの整数をつくる。このとき、つくることのできる けたの偶数は何通りあるか求めよ。ただし、 のカードを百の位に置いたものは けたの整数とはみなさない。
, , , , の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります（ のカードは 2 枚あります）。この中から 4 枚を選んで横一列に並べ、4 けたの整数を作ります。ただし、いちばん左（千の位）に のカードを置くことはできません。作ることのできる 4 けたの整数のうち、 の倍数は何個ありますか。
, , , , , の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードがあります。この中から 3 枚を選んで横一列に並べ、3 けたの整数を作ります。ただし、 のカードをいちばん左（百の位）に置くことはできません。作ることのできる 3 けたの整数のうち、3 の倍数は全部で何個ありますか。
, , , , , の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードがあります。この中から 4 枚を選んで横一列に並べ、4 けたの整数を作ります。ただし、いちばん左（千の位）に のカードを置くことはできません。作ることのできる 4 けたの整数のうち、 の倍数は全部で何個ありますか。
この技能の次に学べること
- 続けて取り出す確率（順番のある取り出し） （中学数学 場合の数と確率）