, , , の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが袋に入っています。この袋からカードを 1 枚取り出し、それを戻さずに続けてもう 1 枚取り出します。1 枚目のカードの数字を十の位、2 枚目のカードの数字を一の位として 2 けたの整数をつくるとき、その整数が 3 の倍数になる確率を求めなさい。
続けて取り出す確率（順番のある取り出し）
カードや玉を 1 個ずつ続けて取り出すとき、戻す場合と戻さない場合の全部の出方を区別して数え、取り出したもので作る数などについての確率を求められる
前提
- 確率の意味と求め方 （中学数学 場合の数と確率）
- 数字のカードで整数を作る （算数 場合の数）
この技能までの道筋（7 技能）
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一覧で見る（前提が先）
- 樹形図で数え上げる （算数 場合の数）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
- 確率の意味と求め方 （中学数学 場合の数と確率）
- 積の法則と和の法則 （算数 場合の数）
- 並べ方の数 （算数 場合の数）
- 数字のカードで整数を作る （算数 場合の数）
説明
袋や箱からカードや玉を 1 個ずつ続けて取り出すときの確率を求められるようになります。取り出したものを「もとに戻す」か「戻さない」かで全部の出方の数が変わることに気をつけ、1 回目・2 回目の順番を区別して数えます。取り出したカードを順に並べて整数を作る問題などでよく使います。
なぜそうしてよいのか
1 個ずつ続けて取り出すときは、「1 回目に何が出たか」と「2 回目に何が出たか」の組を 1 つの出方と考えます。たとえば 1 回目が 2、2 回目が 3 の出方と、1 回目が 3、2 回目が 2 の出方は、作る数も 23 と 32 でちがうので、別の出方として区別します。
5 枚のカードから取り出すとき、1 回目は 5 通りです。取り出したカードを戻すなら、2 回目もまた 5 枚から選ぶので 5 通りで、全部で 通りです。戻さないなら、2 回目は残りの 4 枚から選ぶので 4 通りで、全部で 通りです（積の法則）。どのカードも同じように取り出されやすいので、こうして数えた出方はどれも同様に確からしく、確率 が使えます。
戻さない場合は、同じカードを 2 回取り出すことはできません。戻す場合は、同じカードが 2 回出ることもあります。この違いを全部の数にも、あてはまる数にも、同じように反映させることが大切です。
手順
取り出したものを戻すのか戻さないのかを確かめる
1 回目・2 回目…の順番を区別して、全部の出方の数 を積の法則で求める（例: 5 枚から 2 回、戻すなら 、戻さないなら ）
条件にあう出方を、樹形図や書き出しで順番を区別して数え、その数 を求める（戻さないときは同じカードが 2 回出る組を入れない）
確率を で求め、約分できれば約分する
例題
袋の中に 1、2、3、4、5 の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この袋から 1 枚取り出し、それを袋に戻さずにもう 1 枚取り出す。1 枚目の数字を十の位、2 枚目の数字を一の位として 2 けたの整数を作るとき、その整数が 3 の倍数になる確率を求めよ。
例題の解答
手順 1: 取り出したカードは戻しません。
手順 2: 1 枚目は 5 通り、2 枚目は残りの 4 通りなので、全部の出方は 通りで、どれも同様に確からしいです。
手順 3: 3 の倍数になるのは、各位の数の和が 3 の倍数のときです（たとえば 12、15、18 と調べて確かめられます）。ちがう 2 つの数字で和が 3 の倍数になる組は、、、、 の 4 組です（3 は 3 と組むときだけ和が 3 の倍数になりますが、戻さないので 33 は作れません）。それぞれ順番を入れかえた 2 通りがあるので、12、21、15、51、24、42、45、54 の 通りです。
手順 4: 確率は です。
答え:
よくある誤り
戻さない場合なのに全部の出方を 通りとしてしまう誤り。2 回目は残りの 4 枚から選ぶので、正しくは 通り。
戻す場合なのに同じカードが 2 回出る出方を数え忘れる誤り。1〜5 のカードを戻して 2 回取り出すとき、11、22、33、44、55 も作れるので、全部は 通りで、たとえば 3 の倍数は上の 8 通りに 33 を加えた 9 通りで 。
順番を区別せず、取り出した 2 枚の組だけで数えてしまう誤り。全部を 20 通りとしながら 3 の倍数を {1, 2}、{1, 5}、{2, 4}、{4, 5} の 4 通りとして とするのは誤りで、正しくは 12 と 21 などを別に数えて 。
全部の出方 とあてはまる出方 で数え方をそろえない誤り。 を順番を区別した 20 通りにしたら、 も必ず順番を区別して数える。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
袋の中に、 の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋からカードを 1 枚取り出し、その数字を十の位とする。取り出したカードは袋に戻さずに、続けてもう 1 枚取り出し、その数字を一の位として 2 けたの整数をつくる。このとき、できる 2 けたの整数が 4 の倍数になる確率を求めよ。
箱の中に、 の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この箱からカードを 1 枚取り出して数字を記録し、そのカードを箱にもどしてよく混ぜてから、もう一度カードを 1 枚取り出して数字を記録する。記録した 2 つの数の積が偶数になる確率を求めよ。
袋の中に、赤玉が 個、青玉が 個、白玉が 個、合わせて 個の玉が入っている。この袋から玉を 個取り出して色を調べ、その玉を袋に戻してよくかき混ぜてから、もう一度玉を 個取り出して色を調べる。 回目と 回目に取り出した玉の色が同じである確率を求めよ。
袋の中に、赤玉が 個、白玉が 個、合わせて 個の玉が入っている。この袋から玉を 個ずつ取り出していく。取り出した玉は袋に戻さず、 個目の赤玉を取り出した時点で取り出すのをやめる。取り出すのをやめるまでに取り出した玉の個数（ 個目の赤玉を含む）が偶数である確率を求めよ。
袋 A には赤玉 個と白玉 個、袋 B には赤玉 個と白玉 個が入っている。まず、袋 A から玉を 個取り出して袋 B に入れ、よくかき混ぜる。続いて、袋 B から玉を 個取り出して袋 A に入れる。このあと、袋 A に入っている赤玉の個数が 個である確率を求めよ。