場合の数と確率の問題

途中でやめずに $6$ 個すべてを $1$ 個ずつ取り出したと考えても、$2$ 個目の赤玉が何番目に出るかは変わらない。そこで、$6$ 個の玉をすべて区別して、$6$ 個を取り出す順番を考える。

赤玉が出る順番の組
$2$ 個の赤玉が何番目と何番目に出るか（順番の組）は、$1$ 番目から $6$ 番目のうちの $2$ つの組で、
$$\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{1,6\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{2,6\},\{3,4\},\{3,5\},\{3,6\},\{4,5\},\{4,6\},\{5,6\}$$
の $15$ 通りある。

$6$ 個の玉の取り出し方は全部で $6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$ 通りあり、どれも同様に確からしい。赤玉が出る順番の組を $1$ つ決めると、そこへの $2$ 個の赤玉の入り方が $2\times 1=2$ 通り、残りの場所への $4$ 個の白玉の入り方が $4\times 3\times 2\times 1=24$ 通りなので、どの組についても取り出し方は $2\times 24=48$ 通りずつある（$15\times 48=720$）。
よって、$15$ 通りの組はどれも同様に確からしい。

条件を満たす組
取り出すのをやめるまでの個数は、$2$ 個目の赤玉の順番、つまり組の大きいほうの数である。大きいほうの数が偶数になる組を数える。
- 大きいほうが $2$: $\{1,2\}$ の $1$ 通り
- 大きいほうが $4$: $\{1,4\},\{2,4\},\{3,4\}$ の $3$ 通り
- 大きいほうが $6$: $\{1,6\},\{2,6\},\{3,6\},\{4,6\},\{5,6\}$ の $5$ 通り

合計は $1+3+5=9$ 通り。

よって、求める確率は
$$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$$

6 個すべてを 1 列に取り出す順番を考え、赤玉 2 個が何番目と何番目に出るかで考える。位置の組は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りで、どれも同様に確からしい。
2 個目の赤玉が $k$ 番目のとき、1 個目の赤玉は $1\sim (k-1)$ 番目のどこか。組の数は $k-1$ 通り。
$k=2$: 1 通り、$k=3$: 2 通り、$k=4$: 3 通り、$k=5$: 4 通り、$k=6$: 5 通り（合計 $15$ 通り）。
偶数個目で終わるのは $k=2,4,6$ で $1+3+5=9$ 通り。確率は $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。
検算: $k=2$ は $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{15}$、$k=4$ は $\frac{3}{15}$、$k=6$ は $\frac{5}{15}$ で、合計 $\frac{9}{15}$。