技能一覧 › 中学数学 場合の数と確率

同時に取り出す確率（組み合わせの取り出し）

同じ色の玉も区別して番号をつけ、同時に 2〜3 個取り出す組をもれなく重なりなく数えて、色や数の条件についての確率を求められる

前提

• 確率の意味と求め方 （中学数学 場合の数と確率）
• 選び方（組み合わせ）の数 （算数 場合の数）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 同じ色の玉にも番号をつけて、すべての玉を区別する（例: 赤1、赤2、赤3、白1、白2）

2. 取り出す組の全部の数 $n$ を求める。書き出すときは番号の小さい順に組を作ると、もれや重なりを防げる（例: 5 個から 2 個なら $5\times 4÷2=10$）

3. 条件にあう組を書き出すか、積の法則や選び方の数を使って、その数 $a$ を数える

4. 確率を $\frac{a}{n}$ で求め、約分できれば約分する

例題

よくある誤り

• 同じ色の玉を区別せず、出方を「赤赤・赤白・白白」の 3 通りとして、色がちがう確率を $\frac{1}{3}$ としてしまう誤り。正しくは玉に番号をつけて 10 組を数え、$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

• 同時に取り出すのに順番を区別した $5\times 4=20$ 通りを全部の数とし、あてはまる数は組で数えた 6 通りを使って $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ としてしまう誤り。数え方をそろえ、組で数えるなら $\frac{6}{10}$、順番を区別するなら $\frac{12}{20}$ で、どちらも $\frac{3}{5}$。

• 2 個とも赤の組を $3\times 2=6$ 通りとしてしまう誤り。{赤1, 赤2} と {赤2, 赤1} は同じ組なので、正しくは $3\times 2÷2=3$ 通りで、確率は $\frac{3}{10}$。

• 3 個取り出すときの全部の数を $5\times 4\times 3=60$ 通りとしてしまう誤り。同じ 3 個の組は並べ方が $3\times 2\times 1=6$ 通りずつ重なっているので、正しくは $60÷6=10$ 通り。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  袋の中に、赤玉が 3 個、白玉が 2 個、合わせて 5 個の玉が入っています。この袋から同時に 2 個の玉を取り出すとき、2 個とも赤玉である確率を求めなさい。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  袋の中に、赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個入っている。この袋から同時に $2$ 個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が $1$ 個ずつ出る確率を求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  袋の中に、赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $5$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $2$ 個の玉を取り出すとき、取り出した $2$ 個の玉の色が異なる確率を求めよ。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  袋の中に、赤玉が $2$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出していく。取り出した玉は袋に戻さず、$2$ 個目の赤玉を取り出した時点で取り出すのをやめる。取り出すのをやめるまでに取り出した玉の個数（$2$ 個目の赤玉を含む）が偶数である確率を求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  袋の中に、$1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋から同時に 3 枚のカードを取り出し、取り出した 3 枚のカードに書かれた数の積を求める。この積が $12$ の倍数になる確率を求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $1,2,3,4,5,6,7$ の数字が $1$ つずつ書かれた $7$ 枚のカードが袋に入っている。この袋から $3$ 枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた $3$ つの数をそれぞれ辺の長さとする三角形をつくる。三角形ができる確率を求めよ。ただし、$3$ つの数のうち最も大きい数が残りの $2$ つの数の和より小さいときに三角形ができ、そうでないときは三角形ができないものとする。

この技能の次に学べること

• 起こらない確率と「少なくとも」 （中学数学 場合の数と確率）